28. Дифференцируемость ф-ии.

Df : Ф-ия дифференцируема в точке х₀ , если приращение ф-ии в точке сможет быть представлено в виде:

, А – const.

Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х₀ , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.

Доказательство: (необходимость)

(достаточность):

29. Производная суммы, произведения, частного.

Dh:Пусть ф-ия и дифференцируемы в точке х₀ , тогда в этой точке дифференцируемы их сумма, произведение и частное, причем выполняются формулы:

1. 

2. 

3. , если

Лемма: Ф-ия, дифференцируема в точке х₀ , непрерывнна в этой точке.

- дифф. в т. х₀

обратное утверждение неверно!!!

30. Производная от const ф-ии =0.

Если

Доказательство:

Zm1: При вычислении производной, константу можно выносить за знак производной.

Zm2: Данные формулы можно рассматривать на большее число слагаемых и сомножителей.

Df: Линейным колебанем системы из т. ф-ий называется сумма призведения этих ф-ий на производную и постоянную.

Zm: Свойство линейности производной.

Из доказанных свойств, следует, что производная от линейных колебаний ф-й = линейные комбинации призводных.

31. Производная от обратной ф-ии.

Dh: Пусть в точке х₀ имеет:

1. 

2. на промежутке, содержащем х₀ , обратную ф-ию

3. 

тогда в точке х₀ существует , равная

32. Производная от обратной ф-ии.

Dh: Пусть в точке х₀ имеет:

5. на промежутке, содержащем х₀ , обратную ф-ию

тогда в точке х₀ существует , равная

Доказательство:

1. Пусть и двум различным значениям х соответствует е различных значений y .

2. Пусть дифф. в точке х₀ , тогда

3. т.к.

Производная от сложной ф-ии.

Dh: Пусть:

1. - дифф. в точке y₀ .

2. - дифф. в точке х₀ .

3. 

тогда сложная ф-ия - дифф. в точке х₀ и справедлива формула:

Доказательство:

1. - дифф. в точке y₀

2. - дифф. в точке х₀

3. - дифф. в точке х₀ а значит непрерывна в этой точке .

Односторонние производные.

Заменим в определении производной предел – односторонним пределом, получится определение односторонней производной.

33. Производная от параметрически заданной ф-ии.

Df: Ф-ия называется заданной параметрически, если ее аналитическое выражение может быть представлено в виде:

t- параметр.

Dh: Пусть ф-ия задана параметрически, где и дифф. в точке х₀ , тогда

Доказательство: Предположим. что имеет обратную ф-ию , тогда - сложная ф-ия от х и определению сложной ф-ии имеет:

34. Производные высших порядков.

Df: Пусть ф-ия дифф. на Х , то есть дифф. в каждой т. Х .

Каждому значению Х соответствует единственное значение , т.е. получаем как ф-ию, заданную на Х.

Если она окажется дифф. на Х, то мы можем вычислить следующую , которая будет называться второй и т.д.

Df: Производной n-го порядка от ф-ии называется первая производная от производной n-1 порядка.

Пример:

35. Теоремы о дифф. Ф-ях.

Теорема Ферма: Пусть дифф. на и наибольшее или наименьшее ее значение в т. х₀ , тогда производная в этой точке равна нулю.

**************************

Доказательство:

Пусть - наибольшее на

Но из дифф в т. х₀

Zm: Из доказательства т. Ферма следует: Пусть непрерывна на промежутке и внутренних точках этого промежутка принимает наибольшее и наименьшее значение, тогда если в этой точке ф-ия дифф., то .

Теорема Ролля: Пусть ф-ия :

1. непрерывна на

2. дифф. на

3. Принимает на концах этого отрезка одинаковые значения.

Тогда на существует т. х₀ , в которой

*************

Доказательство:

Из непрерывности ф-ии на отрезке следует, что имеет на этом отрезке свои наименьшее(m) и наибольшее(M) значения.

Возьмем два случая:

1. m=M ; наименьшее значение совпадает с х₀ следовательно:

2. ; из (3) следует: ***********

Dh: Между двумя корнями ф-ии есть точка производной.

Теорема Лагранжа: Пусть ф-ия непрерывна на промежутке , дифф. на , тогда на существует такая х₀ такая, что верна формула:

Если ее переписать в виде

**************************

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную ф-ию .

1. Она непрерывна на как сумма непрерывных ф-ий.

2. F(x) – дифф. на как сумма дифф. на интервале ф-ий.

3. F(а) = 0; F(b) = 0

Sl: Пусть ф-ия дифф. на , тогда для любой внутренней точки интервала справедлива формула Лагранжа:

х₀ между

Действительно ***************

Из дифф. ф-ии на следует ее непрерывность на

Теорема Коши: Пусть и :

1. Непрерывны на .

2. Дифф. на

Тогда на существует т. х₀ , для которой справедлива формула Коши:

Доказывается как теорема Лагранжа.