10. Два определения предела функции в точке. Теорема об эквивалентности определений пределов функции в точке.

Предел функции в точке .

Определение (на языке последовательностей)

Пусть функция f(x) определена на множестве X. Пусть также заданы: последовательность причем ,

а также соответствующая последовательность причем тогда .

Или: .

Определение (предела функции в точке на языке эпсилон-дельта ( ))

Число A называется пределом функции f(x) в точке , если:

удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство .

Или: .

Оба определения предела функции эквивалентны.

11.Теорема о пределе суммы, произведения, и частной функции. Предел функции на бесконечности. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть

и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0, а предел числителя конечен и отличен от нуля.

Пусть ф-я определена на бесконечном промежутке

Число А называется пределом ф-ии при , если для любой положительной бесконечно большой последовательности (т.е. ) последовательность соответствующих значений ф-ии сходится к А.

Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения. Число называется пределом функции f при если для любого числа ε>0 найдется такое число М>0, что для всех значений х>М выполняется неравенство

Пишут:

Число называется пределом функции f при если для любого числа ε>0 найдется такое число М>0, что для всех значений х>М выполняется неравенство

Пишут:

об ограниченности функций, имеющих предел

Если , то существует некоторая проколотая окрестность этой точки , в которой функция ограничена.

Доказательство

Пусть .

12. Односторонние пределы. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.

Односторонние пределы

Если у любой сходящейся к точке последовательности все ее элементы меньше , а соответствующая последовательность сходится к , то число называется левым пределом функции .

Обозначение: .

Если у любой сходящейся к последовательности все ее элементы больше , а соответствующая последовательность сходится к , то число называется правым пределом функции f(x):

Обозначение: .

Утверждение.

Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы справа и слева и они равны .

13. Теорема о 1-м замечательном пределе.

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия