17. Теорема о непрерывности обратной функции. Критерий непрерывности функции в точке. Односторонняя непрерывность.

Теорема (о непрерывности обратной функции).

Пусть функция , определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке и пусть - множество ее значений. Тогда на множестве обратная функция однозначна, строго монотонна и непрерывна.

Переход к пределу в неравенстве

Теорема: Пусть f(х) и j(х) имеют конечные пределы в т. y=a, тогда справедливо:

1. 

2. 

3. 

4. 

Доказательство:

1. Пусть , тогда по общему свойству №6

,

а это противоречит 1

Замечание:

1. Из утверждения №3 следует, что предел неотрицательной ф-ии является неотрицательным.

2. При пределов к противоположным можно обе части умножать на (-1).

Теорема 2(о двух миллиционерах ) Пусть в некоторой области Д выполняется система неравенств и а – предел точки.

Пусть существуют равные пределы ,

тогда существует .

Доказательство:

18.Бесконечные пределы ф-ии.

Если в общем определении предела через окрестности положить в качестве А бесконечно удаленную точку, то получим определение бесконечного предела.

Так как различают три вида бесконечно удаленных точек, то существуют три определения:

1.

2.

3.

19. Понятие непрерывности ф-ии.

Непрерывность – такое свойство ф-ии, как отсутствие точек разрыва у графиков этой ф-ии. Т.е. строится единственной непрерывной линией.

График непрерывной ф-ии ; График ф-ии, разрывной в т. С;

1.Ф-ия называется непрерывной в точке х₀ , если предел в данной точке совпадает со значением ф-ии в этой же точке

2.

3. Разность -приращение аргумента в точке х₀

4. Разность - приращение ф-ии в точке х₀ вызывает приращение аргумента

5. Ф-ия называется непрерывной в точке х₀ , если бесконечно малому аргументу соответствует бесконечно малое значение ф-ии в точке х₀ .

20. Общие свойства ф-ии, непрерывной в точке.

Представим ф-ию с помощью бесконечно малых

1.

2.Пусть ф-ия непрерывна в точке х₀ и ее значение в этой точке отлично от нуля, то существует целая окрестность х₀ , в которой ф-ия не равна нулю и сохраняет знак f(x₀)

sign(х)(сигнум)

Доказательство:

а)

б)

Из а) и б) следует:

Непрерывность и арифметические операции

Пусть и непрерывна в т. х₀ , тогда справедливо:

1. Сумма этих ф-ий непрерывна в т. х₀ ;

- непрерывна в точке х₀

2. Произведение этих ф-ий непрерывно в т. х₀

- непрерывна в точке х₀

3. Отношение этих функций непрерывно в тех точках, в которых знаменатель отличен от нуля, т.е. если знаменатель ¹0.

Доказательство:

Непрерывность сложной ф-ии.

Пусть:

Ф-ия - непрерывна в т. y0 . Ф-ия - непрерывна в т. х0 .

Þтогда сложная ф-ия - непрерывна в т. х0 .

Доказательство:

А).

Б).

из А) и Б) следует:

Sl.

21. Непрерывность ф-ии на множестве.

Df. Ф-ия непрерывна на множестве Х , если она непрервна в каждой точке этого меожества.

Непрерывность обратной ф-ии:

Пусть - непрерывна и строго монотонна на промежуте Х , тогда справедливо:

1. *****

2. На промежутке Y существует непрерыная обратная ф-ия .

3. Характер монотонности обратной ф-ии такой же как и прямой.

Непрерывность элементарной ф-ии:

1. **********

2. Доказательство непрерывности основной элементарной ф-ии tg и ctg , следует из свойств непрерыности элементарных ф-ий.

3. Непрерывность log, arcsin, arccos, arstg следует из определения непрерывности обратной ф-ии.

Df Элементарные ф-ии, полученные из основных элементарных ф-ий с помощью арифметических операций, взятых в конечном числе,********