10. Проекция вектора.

Проекцию L называют осью, если на ней задано направление.

Углом между вектором и осью называют наименьшим углом, на который надо повернуть вектор, чтобы его направление совпало с направлением оси.

Спроектируем перпендикулярно начало и конец вектора а на ось L. Полученные точки будем считать соответственно началом и концом вектора аL, которая называется геометрической проекцией вектора а, на ось L.

Вектор геометрической проекции может иметь направление совпадающее с направлением оси L или противоположное этому направлению. Он может быть точкой и являться 0(векторный).

Алгебраическая проекция вектора а на ось L – длинна его геометрической проекции, взятая со знаком +, если направление совпадает, и -, если направление противоположное.

a>0(1) a=0(2) a<0(3)

Алгебраическая проекция– число, для которого справедлива формула, где y=(a, )

11. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.

Линейной комбинацией векторов называется выражение вида с1*а1+с2*а2+...+сn*аn

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A1, A2,...,An называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел с1, с2,...,сn, при котором линейная комбинация векторов с1*A1+с2*A2+...+сn*An равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ имеет ненулевое решение.

Набор чисел с1, с2,...,сn является ненулевым, если хотя бы одно из чисел с1, с2,...,сn отлично от нуля.

Определение линейной независимости системы векторов

Система векторов A1, A2,...,An называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов с1*A1+с2*A2+...+сn*An равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел с1, с2,...,сn, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ имеет единственное нулевое решение.

Базис системы векторов

Базисом системы векторов A1 , A2 ,..., An называется такая подсистема B1, B2 ,...,Br (каждый из векторов B1,B2,...,Br является одним из векторов A1 , A2 ,..., An), которая удовлетворяет следующим условиям:

1. B1,B2,...,Br линейно независимая система векторов;

2. любой вектор Aj системы A1 , A2 ,..., An линейно выражается через векторы B1,B2,...,Br

r — число векторов входящих в базис.

Теорема: О единичном базисе системы векторов.

Если система m-мерных векторов содержит m различных единичных векторов E1 E2 ,..., Em , то они образуют базис системы.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того, чтобы найти базис системы векторов A1 ,A2 ,...,An необходимо:

1. Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ

2. Привести эту систему

12. Декартова система координат.

Декартово-прямоугольная система координат в пространстве определяется базисным вектором {i,j,k}.

1. 

   

2. 

3. (i,j,k) образует правую тройку векторов, т.е. поворот от k от i к j виден против часовой стрелки

k

j

i

Построив на данных векторах система координат имеет оси: Ox, Oy, Oz.

Согласно вышесказанному любой вектор можно разложить на базисные вектора.

a=xi+yj+zk=(x,y,z)

Вектор, выходящий из начала координат называется радиус-вектором, координаты радиус-вектора – его проекция на соответствующие координатные оси.