1. Понятие матрицы. Виды матриц.

Матрица – прямоугольная таблица чисел. Она обозначается большими буквами (А, В, Х), размер матрицы m на n, где m – количество строк в матрице; n – количество столбцов в матрице.

Виды матриц:

1. Матрица размера 1 на n – вектор-строка.

2. Матрица размера m на 1 – вектор-столбец.

3. Матрица, у которой m=n, называется квадратной. размер квадратной матрицы называется её порядком и обозначается n.

4. Прямоугольная матрица m на n.

5. Трапециевидные матрицы:

побочная диагональ

6. Квадратные матрицы

   

7. 

главная диагональ

2. Линейные операции над матрицами.

Действие над матрицей: понятие =, + и – вводятся только для матриц одинакового размера.

1. А=В, при любом a_ij=b_ij

2. A+B=

Свойство сложения матриц:

1. A+B=B+A – коммутативность

2. (А+В)+С=А+(В+С) – ассоциативность

3. Для любых матриц А и В одинакового размера, существует единственная матрица Х, такая, что А+Х=В

Уравнение А+Х=0 имеет единственное решение Х= –А

Матрица –А называет противоположной к матрице А.

Свойство умножения матрицы на число:

1. 

2. 

3. 0*А=0_ij

4. (–1)*A= –A

5. 

3. Умножение матриц. Натуральная степень матрицы. Многочлены от матриц.

Произведение 2 матриц возможна только тогда, когда количество столбцов А = количеству строк В. В результате получается матрица С.

A_m*k*B_k*n=C_m*n

с₁₁= а₁₁ * b₁₁ + a₁₂ * b₁₂ + … + a_1k * b_k1

с₂₁= а₂₁ * b₂₁ + a₂₂ * b₂₂ + … + a_2k * b_k2

Если А*В=В*А, то матрицы называются перестановочными или коммутативными.

Свойства произведения матриц:

1. произведение матриц анти коммутативно.

2. Е_n*A_n*m = A_m*n*E_n = A_m*n

0*A=A*0=0

3. (A*B)*C=A*(B*C)

4. (A+B)*C=A*C+B*C

5. (A*B)^T=B^T*A^T

Выражения Р(А) = а_n*Aⁿ + a_n-1*A^n-1 + a*E называется многочленом от матрицы А, если Р(А)=0, то она является корнем многочлена. Целой положительной степенью матрицы А называется произведение n матриц, каждое из которых равно А. Нулевой степенью матрицы А, является Е такого же порядка, как и матрица А.

Замечание:

Матрица А – квадратная порядка n.

A_n^k = A_n* A_n* A_n*… A_n (k – раз)

A_n⁰ = E_n

4. Элементарные преобразования матрицы, сведение матрицы к треугольному или трапециевидному виду.

Элементарные преобразования:

1. Перестановка 2 параллельных рядов матрицы.

2. Умножение всех элементов ряда на число

3. Прибавление ко всем элементам ряда, соответственно элемента параллельного ряда, умноженное на одно и тоже число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований .

С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к треугольному, трапециевидному и к каноническому виду.

Канонический вид – в начале главной диагонали стоит 1, а остальные элементы равны 0.

Частный случай канонической матрицы – единичные Е:

Треугольный вид: