5. Определители 2-го и 3-го порядка.

Понятие 2-ого определителя относится только к квадратным матрицам. Пусть дана матрица А₂, определитель матрицы – число . Определители обозначаются: , где i=1,n.

Определители 3-ого порядка. Пусть дана матрица .

Определитель данной матрицы можно вычислить по схеме Саррюса (по правилу треугольника)

=(а₁₁*а₂₂*а₃₃+а₁₂*а₂₃*а₃₁+а₂₁*а₃₂*а₁₃)-( а₃₁*а₂₂*а₁₃+а₂₁*а₁₂*а₃₃+а₃₂*а₂₃*а₁₁)

6. Понятие обратной матрицы. Построение обратной матрицы.

Квадратная матрица А_n называется невырожденной, если её определитель не равен 0, в противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема: для невырожденной квадратной матрицы А_n имеется единственная обратная матрица – А_n^-1.

Определение: Матрица А_n^-1 называется обратной к матрице А_n, если выполняется А_n* А_n^-1= А_n* А_n^-1=Е_n.

Замечание: Данные равенства используются для проверки правильности нахождения обратной матрицы.

Свойства обратной матрицы:

1. (А^-1)^-1=А

2. (А*В)^-1=В^-1*А^-1

3. (А^R)^-1=(А^-1)^R

4. (А^T)^-1=(А^-1)^T

Методы построения обратной матрицы

1. Метод алгебраического дополнения

Где А^* – матрица, состоящая из транспонированных алгебраических дополнений матрицы А.

А₁₁=(-1)¹⁺¹*

2. Метод с единичной матрицей

7. Понятие системы линейных алгебраических уравнений (слау).

Система вида:

– 1

называется системой m-уравнений с n-неизвестными.

– матрица А составлена из коэффициентов при соответствующих неизвестных.

– столбец сводных значений

– столбец неизвестных

– расширенная матрица системы.

Решением системы являются значения, записанные в виде вектор-строки со значком Т( ), обращающие её в верные равенства.

Если в системе вида 1 , т.е.

– 2 , то система называется однородной.

Множество решений

1. 1 решение,

2. 1 решение ,

8. Решение систем уравнений с неизвестными(методы Крамера, Гаусса, матричный)

1. Формула Крамера.

– основной определитель матрицы

Если , то

1. 

2. 

получают путём замены соответствующего столбца основного определителя на столбец свободного значения.

Ответ:

2. Метод Гаусса

Пусть дана система

Относительно полученной матрицы составляем систему уравнений:

Из последнего уравнения системы, определяем множество решений.

1. 0*x_n=0 – верно при любом x_n, a_nn^’=b_n^’=0

2. a_nn^’=0, 0*x

3. во всех остальных случаях система имеет 1 решение.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Будем предполагать, что основная матрица невырожденная.

Тогда существует обратная матрица. Помножив матричное уравнение на матрицу слева, получим формулу, на которой основан матричный метод решения систем линейных уравнений:

Замечание. Отметим, что матричный метод решения систем линейных уравнений в отличие от метода Гаусса имеет ограниченное применение: этим методом могут быть решены только такие системы линейных уравнений, у которых, во-первых, число неизвестных равно числу уравнений, а во-вторых, основная матрица невырожденная.

9. Понятие вектора в пространстве. Линейные операции над векторами.

Определение 1. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром.

(Масса тела, объем, время и т.д.)

Определение 2. Величина, характеризуемая числовым значением и направлением, называется векторной или вектором.

(Перемещение, сила, скорость и т.д.)

Геометрический вектор – это направленный отрезок.

Определение 3. Модуль вектора – это длина отрезка AB.

Определение 4. Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым.

Определение 5. Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то они называются сонаправленными.

Определение 6. Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и равны по модулю.

Линейные операции над векторами

1. сложение. чтобы сложить 9 вектора в пространстве (на плоскости), можно использовать геометрический метод треугольника или параллелограмма.

– сумму конечного вектора находят по правилу ломанной, которая не обязательно лежит в одной плоскости.

Для операции сложения появились свойства:

1. Для всяких векторов a,b существует 1-ое a+b

2. a+b=b+a – коммутативность

3. (a+b)+c=a+(b+c) – ассоциативность

4. a+0=a

2. Умножение вектора на число

1. *

2. 

3. 

4. 0*a=0

3. Разность векторов

a-b=a+(-b)=a+(-1*b)