Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Y’’= f(x,y,y’), начальными условиями при Х=Хо для решения будут условия

Y=Yo, Y’=Y’o .

Геометрический смысл:

Через заданную точку плоскости с заданным тангенсом угла .

07.11.11. Уравнения второго порядка.

Рассмотрите, например, ур-ние у''=2. Это ур-ние второго порядка. Т.к. функция f(x,y,y')=2, f_y(x,y,y')=0, Определения и непрерывны во всем пространстве переменных (х,у,у'), то оно удовлетворяет во всем пространстве требования Коши. Общее решение данного уравнения найдем двукратным последовательным интегрированием. Последовательно интегрируя, находим сначала первую производную у'=2х+С_1х+С₂, где С₁ и С₂ – произвольные постоянные. Геометрически общее решение представляет собой семейство парабол, причем так как оно зависит от двух произвольных постоянных, то через каждую точку плоскости проходит бесконечное множество парабол, имеющих различные касательные в этой точке. Поэтому для выделения одной параболы из полученного семейства, кроме точки (х₀,у₀), через которую проходит парабола, нужно задать ещё угловой коэффициент у₀ касательной к параболе в этой точке. Найдем, например, частное решение данного уравнения при начальных условиях у│=1,у'(х=1)│=1. Подставляя эти значения в выражения для общего решения – у=х+С₁х+С₂ и его производной у'=2х+С₁, для определения С₁ и С₂, получаем систему уравнений (общий знак системы) 1=1+С₁+С₂ 1=2+С₁ Откуда находим С₁=-1 и С₂=1. Следовательно, искомым частным решением является функция: у=х²-х+1, график которой - парабола, проходящая через точку (1,1) с угловым коэффициентом в этой точке, равном единице. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Рассмотрим три частных случая, когда решение уравнения с помощью замены переменной сводится к решению уравнения первого порядка. Такое преобразование уравнения называется понижением порядка. 1) Уравнение вида у''=f(x). Уравнение не содержит у и у'. Введем новую ф-цию Z(x), полагая z(x)=y'. Тогда z'(x)=y'', и ур-ние превращается в ур-ние первого порядка z'(x)=f(x) с искомой ф-цией z(x). Решая его, находим: z(x)=∫f(x)dx+C₁. Т.к. z(x)=y', то y'=∫f(x)dx+C₁. Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем искомое решение: y=∫[f(x)dx]dx+C₁x+C₂, где С₁ и С₂ – произвольные постоянные. Пример 1: Найти общее решение ур-ния у=х. Решение: Полагая z(x)=y', получаем ур-ния первого порядка z'(x)=x. Интегрируя его, найдем z(x)=x²/2+C₁. Заменяя z(x) на у' и интегрируя ещё раз, находим искомое общее решение: y=∫[x²/2+C₁]dx+C₂=x²/6+C₁x+C₂. 2) Ур-ние вида у''=f(x,y'). Ур-ние не содержит у. Положим, как и в предыдущем случае, z(x)=y'', и ур-ние преобразуется в ур-ние 1-го порядка относительно z(x): z'=f(x,z). Решая его, найдем z(x)= (x,C₁)dx+C₂, где С₁ и С₂ – произвольные постоянные. Пример 2: Найти общее решение ур-ния у''-3*у/х=х. Решение: Полагая z(x)=y', получаем линейное ур-ние первого порядка z'-3*z/x=x. Решая его, найдем: z(x)=C₁x³-x². Тогда у'=С₁х³-х² и у=С₁*х⁴/4-х³/3+С₂ – искомое решение. 3) Ур-ние вида y''=f(y,y'). Уравнение не содержит х. Вводим новую функцию z(y), полагая y=z. Тогда y''=d(y')/dx=dy'/dy*dy/dx=dz/dy*dy/dx=dz/dy*z(y). Подставляя в ур-ние выражения для у' и у'', получаем ур-ние первого порядка относительно z как функции от у. z*dz/dy=f(y,z) Решая его, найдем: z= (y,C₁). Так как z=dy/dx, то dy/dx= (y,C₁). Отсюда dy/ (y,C₁)=dx. Полученное ур-ние с разделяющимися переменными, из которого находим общее данного уравнения: ∫dy/ (y,C₁)=x+C₂.