Лекция № ?? 24.10.11
Однородные уравнения первого порядка.
Ур-ние вида
Р(х,у)dx+Q(x,y)dy=0
называется однородным, если Р(х,у) и
Q(x,y)
– однородные ф-ции одного измерения.
Функция f(x,y)
называется однородной измерения m,
если f(лямбда*х,лямбда*у)=лямбда
в степени m * f(x,y).
Однородное
уравнение может быть приведено к виду
у'=f(y/x).
С помощью подстановки y=tx
однородное уравнение приводится к
ур-нию с разделяющимися переменными по
отношению к новой неизвестной функции
t.
Пример:
Найти общий
интеграл ур-ия: (х2+2ху)dx+xydy=0.
Здесь
Р(х,у)=х2+2ху, Q(x,y)=xy.
Обе
функции однородные второго измерения.
Введем подстановку y=tx,
откуда dy=xdt+tdx.
Тогда
ур-ние примет вид: (х2+2х2t)+tx2
– dx
или
(xdt+tdx)=0.
(х2+2х2t+t2x2)dx+tx3dt=0.
Разделяя
переменные и интегрируя, имеем
dx/x+tdt/(t+1)2
=0, ∫dx/x+∫tdt/(t+1)2
= C.
Преобразуем второй
интеграл:
ln│x│+
∫ t+1-2/(t+1)2
всё это * dt=C,
или ln│x│+
ln│t+1│+
1/t+1 снова всё это
=С,
Возвращаясь к прежней неизвестной
функции y(t=y/x)
получим
ответ: ln│x+y│+
x/x+y
всё это =С (общий интеграл)
Дифф-ные ур-ия, приводящиеся к
однородным.
у'=f(a1x+в1у+с1/а2х+в2у+с2)
При
a1b2
– a2b1≠0
приводятся к однородным подстановкой
х=u+
,
у=u+
,
где (
,
)
– точка пересечения прямых a1x+b1y+c1=0
и a2x+b2y+c2=0.
Если
же a1b2-a2b1=0,10.
Подстановка
a1x+b1y=t
позволяет разделить переменные.
Найти
общий интеграл уравнения
(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.
Ур-ние
принадлежит к первому типу, поскольку
y'=2x+y+1/x+2y-1
4*│2
1│=3≠0 (матрица).
│1 2│
Находим
точку пересечения прямых 2х+у+1=0 и
х+2у-1=0.
Имеем x=
,
y=
=1
Производим
в исходном ур-нии замену переменных,
полагая х=u+
=U\u-1
y=u+
=u+1,
dx=du,
dy=du.
Ур-ие
преобразуется к виду
(2u+v)du+(u+2v)dv=0
В
полученном однородном уравнении положим
v=ut, откуда
dv=udt+tdu;
придем к ур-нию с разделяющимися
переменными.
2(t2+t+1)udu+u2(1+2t)dt=0
общий
интеграл, у которого есть u
2+t+1
= C.
или (после замены
t=v/u
и возводится по квадратам)
u2+uv+v2=c2.
Возвращаясь
к переменной x и у (u=x+1,
v=y-1) после
элементарных преобразований найдем
общий интеграл исходного уравнения
x2+y2+xy+x-y=c1
(здесь положено с1=с2-1)
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнение вида у'+Р(х)у=Q(x) называется линейным. Если Q(x)≠0, то уравнение называется неоднородным, а если Q(x)=0 – линейным однородным. Общее решение однородного уравнения y'+P(x)y= легко получается разделением переменных: dy/y= - P(x)dx ; ∫dy/y = - P(x)dx ; lny= - ∫ P =(x)dx+lnC или, наконец, у=Ce-∫P(x)dx, где С – произвольная постоянная. Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти, исходя из общего решения соответственного однородного уравнения методом Лагран жа, варьируя проивзодную постоянную, т.е. полагая у=C(х)e-∫P(x)dx , где С(х) – некоторая, подлежащая определению, дифференцируемая функция от х. Для нахождения С(х) нужно подставить y в исходное уравнение, что приводит к уравнению: С'(х)е-∫P(x)dx = Q(x) C(x)= ∫Q(x) e-∫P(x)dx dx+ C, где С – произвольная постоянная.
31.10.2011
С(х)=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C Где С – произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид: y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫p(x)dxdx+c] Линейные уравнения первого порядка можно интегрировать также методом Бернулли, который заключается в следующем. С помощью подстановки y=ur, где U и V – две неизвестные функции, исходное уравнение преобразуется к виду: U'V+UV'+P(x)uv=Q(x) или U[V'+P(x)V]+VU'=Q(x) Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций(например, V) может быть выбрана совершенно произвольно (поскольку лишь произведение UV должно удовлетворить исходному уравнению),за V принимают любое частное решение уравнения.
U'+P(x)V=0 (например, V=e-∫P(x)dx), обращающегося, следовательно, в нуль коэффициент при U в последнем уравнении. Тогда предыдущее уравнение примет вид. VU'=Q(x), или U'=Q(x)/V , т.e. U'=Q(x)e∫p(x)dx , откуда U=C+∫Q(x)e∫P(x)dx. y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫(P)xdxdx+C] уравнение (нелинейное) вида: y'+P(x)y=Q(x)ym, где m≠0, m≠1, называется уравнением Бернулли. Его можно преобразовать в линейное уравнение, производя замену неизвестной функции при помощи подстановки z=y1-m, в результате чего исходное преобразуется к виду (1/1-m)z'+P(x)z=Q(x). При интегрировании конкретных уравнений Бернулли их не надо предварительно преобразовывать в линейное, а сразу применять либо метод Бернулли , либо метод вариации произвольной постоянной. Пример 5: Найти общее решение уравнения y'+3y=e2x Решение: данное уравнение является линейным. Здесь P(x)=3, f(x)=e2x. Решаем сначала соответствующее однородное уравнение уравнение y'+3y=0 Разделяя переменные dy/y=-3dx и интегрируя находим m│y│=-3x+│n│C1│или y=+-C1e-3x=Ce-3x Видим общее решение данного уравнения в виде y=C(x)e-3x, дифференцируя, имеем y'=C'(x)e-3x-3C(x)e-3xy'+y/x=x2y4 Подставляя в данное уравнение выражения для у и у', получаем С'(х)e-3x=e2x, C'(x)=e5x или
Пример:
Dy/dx + ay=b, где a b – постоянные
Подстановка:
Y=u(x)v(x)
Разделяем переменные:
Dy=(-ay+b)dx
Dy/-ay+b = dx
-1/a * Ln|-ay+b|=X +C1
Ln|-ay+b|=-(ax+C)
-ay+b=e-(ax+c*)
Y= -1/a * e-(ac+c*) + b/a
Или окончательно : Y= Ce-ax + b/a (где обозначено -1/a * e-c =C)
Это и есть общее решение уравнения