Числовые ряды. Основные сведения о рядах. 05.09.

1. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединённых знаком сложения: u1+u2+u3+…+un=

Числа u1, u2 … называются числами ряда, член un – общим или n-м членом ряда сумма n первых членов ряда:

называется n-й частной суммой ряда.

2. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е. .

Число S называется суммой ряда, если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

3. Отбрасывание или приписывание к ряду конечного числа членов не влияет на сходимость или расходимость ряда

Примеры:

1. Покажем, что ряд

Сходитcя. Возьмем сумму Sn первых членов n членов ряда

Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде:

Поэтому

Отсюда следует, что предел последовательности частных сумм данного ряда равен 1

Таким образом, ряд сходится, и его сумма равна 1.

Установим, сходится или расходится ряд:

Последовательность его частичных сумм имеет вид S1=1, S2=0, S3=1, S4=0…

И, значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.

2. Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии,

Частичная сумма Sn Этого ряда при имеет вид:

Отсюда:

1. Если , то , т.е. ряд сходится и его сумма . Например, при a=1 , q= имеем

(Подставить) 

2. Если , то ряд расходится.

3. При ряд сходится.

4. При ряд расходится.

Необходимое условие сходимости ряда.

Если ряд , то предел его общего члена при равен нулю: .

При нарушении необходимого условия сходимости ряда, т.е., если предел общего члена ряда при не существует, или, если он равен нулю, ряд сходится.

Значит, что если предел общего члена ряда равен нулю, то вывод о сходимости или расходимости ряда можно сделать только после дополнительного исследования.

Гармонический ряд Этот ряд расходится.

Обобщенный гармонический ряд

Где а – некоторое число. Этот ряд сходится, если , и расходится, если

Пример:

Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. 12.09

Пусть имеется 2 числовых ряда с положительными членами

Где для всех , для таких рядов справедливы следующие признаки сходимости.

Признаки сравнения.

Пусть общие члены рядов (1) и (2) (с положительными членами) связаны неравенства для всех тогда:

1. Если ряд (1) сходится, то и ряд (2) сходится

2. Если ряд (2) расходится, то и ряд (1) расходится

При применении признака сравнения обычно о качестве эталонных рядов рассматриваются следующие ряды:

1. Сумма членов геометрической прогрессии;

2. Гармонический ряд;

3. Обобщенный геометрический ряд.

Примеры:

• Числовой ряд

Является расходящимся т.к. его общий член больше общего члена

• Члены числового ряда

Положительно имеем

Сходится, то по признаку сравнения сходится исходный ряд.

Признак Даламбера.

Пусть для числового ряда с положительными членами предел отношений последующего члена к предыдущему равен

• Если , ряд сходится;

• Если , ряд расходится;

• Если , ряд может и сходиться и расходиться;

Предельный признак сравнения.

Пусть и – ряды с положительными членами, и существует конечный предел отношения их общих членов

Тогда ряды одновременно сходятся или расходятся.

Интегральный признак сходимости.

Пусть все члены числового ряда положительны и не возрастают,

Пусть существует непрерывная возрастающая ф-ция определенная при всех

Тогда для сходимости числового ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл

Пример:

Для членам обобщенного гармонического ряда положительный и не возрастает … (не разборчиво)

Обобщенный гармонический ряд.

19.09

при является сходящимся.

Признак Коши.

Признак для числового ряда

С положительными членами существует предел

Тогда:

1. Если , то сходится

2. Если

Пример:

Для числового ряда с положительными членами найдем предел:

По принципу Коши ряд сходится.

Закономерные ряды.

Закономерным называется числовой ряд

Содержащий бесконечно много положительных слагаемых бесконечно много отрицательных слагаемых.

Пример:

Числовой ряд

Является закономерным.

(пропуск)

Условно сходящимся называется сходящийся закономерный ряд, для которого ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Пример:

Закономерный ряд

Является абсолютно сходящимся, т.к. ряд

Сходится.

Законочередующиеся ряды.

Законочередующимися рядами называется числовой ряд , где для всех n принадлежащих N

Признак Лейбница.

Законочередующийся ряд сходится, если

Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида:

Где - некоторое число, – переменная. Коэффициентами степенного ряда называются числа …

Пример:

Степенной ряд. Все его коэффициенты равны 1.

При каждом конкретном значении переменной x степенной ряд становится числовым рядом, к которому применимы все понятия и результаты главных числовых рядов, в частности, понятия абсолютной сходимости. Областью сходимости степенного ряда называемых множество всех значений переменной х, при которых соответствующий числовой ряд сходится. Степенной ряд в предыдущем примере является бесконечной абсолютной суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем х.

Его частичная сумма . Эта сумма имеет конечный предел