Анализ закономерностей, описывающих процессы изнашивания, старения и усталостного повреждения деталей и узлов локомотивов

Возникновение постепенных отказов и повреждений большинства элементов конструкции локомотивов чаще всего связаны с усталостью металлов, старе­нием, остаточными деформациями, коррозией. Но основная причина - изнашивание по­верхнос­тей трения.

Усталость характеризуется возникновением и постепенным развитием в ме­талле трещин под воздействием многократно повторяющихся переменных нагрузок. Ус­талостный излом, как правило, хрупкий без видимых следов пластической деформа­ции. Это связано с тем, что макро- и микро усталостные повреждения без специальной ап­паратуры в условиях эксплуатации обнаружить очень трудно, а выросшая из них ма­ги­стральная трещина доводит деталь до разрушения при нагрузках, существенно меньших расчётной.

Наиболее часто усталостным разрушениям подвергаются коленчатые валы, элементы конструкции рам тележек, оси колёсных пар, элементы рессорного подвешива­ния, зубчатые колёса, коренные подшипники, шатуны и пружины клапанов дизелей.

Старению чаще всего подвержены детали, изготовленные из неметаллических материалов. С течением времени под влиянием окружающей среды и условий эксплуа­тации - кислорода воздуха, низких температур, резких температурных перепадов, влаж­ности, происходит изменение их физико-механических свойств. Это приводит к сни­жению прочности, эластичности, появлению поверхностных трещин изоляции элек­трических машин и аппаратов, а также резиновых и резино-металлических дета­лей.

Остаточные деформации, являющиеся также одной из причин нарушения ра­ботоспособности, возникают при больших давлениях на поверхности детали или при воздействии нагрузок, вызывающих напряжения за пределом упругости. В первом слу­чае появляется смятие поверхностей, а во втором - скручивание или изгиб.

Смятию поверхностей подвергаются детали, работающие в условиях значи­тель­ных нагрузок при отсутствии относительного смещения их поверхностей ( бобыш­ки под головки болтов и гаек, шпоночные соединения и т.п.). Скручивание и изгиб под влия­нием высоких напряжений наблюдаются на валиках приводов, шатунах и др.

При релаксации внутренних напряжений также возникают остаточные дефор­ма­ции, обычно называемые короблением. Это явление часто отмечается на блоках ци­лин­дров и других корпусных деталях дизелей.

Коррозия всегда сопутствует взаимодействию трущихся поверхностей, причём механизм её развития определяется свойством среды, материалом трущихся пар, тем­пе­ратурными и другими факторами.

Главной же причиной нарушения работоспособности дизеля, механических пе­редач, электрического оборудования является изнашивание поверхностей контакти­рую­щих элементов. Как правило, все рассмотренные факторы, способствующие посте­пен­ной потере элементом работоспособности, действуют не изолированно, а в сово­купно­сти. Поэтому в общем случае под износом понимают остаточные изменения фи­зическо­го состояния деталей не только от трения, но и от других факторов (усталость, корро­зия, старение и т.п.). Таким образом, постепенный износ отдельных частей эле­мента пред­ставляет собой как бы накоп­ление элементарных повреждений в различных его частях и снижение общего уровня работоспособности. Поэтому, в отличие от слу­чая мгно­вен­ных отказов, когда первое пре­вышение предела прочности при­водит к от­казу элемента, в случае с постепенными отказами необхо­димо интегрирование элемен­тар­ных повреж­дений в различных его частях, обусловленных влиянием многих факто­ров, носящих случайный характер и при­водящих к постепенному изменению состоя­ния объекта. То есть, при анализе используется некоторая обобщённая зависимость x(t) ха­рактеризую­щая изменение рабочих свойств изделия от времени или наработки. Ука­занная случай­ная функция x(t), в общем случае имеет нелинейный характер.

Рис.5.4.Схема формирования постепенного отказа эле­мента при не­ли­нейной зависимости скорости изме­нения параметра x во времени

В качестве примера рассмотрим функцию потери рабо­тоспо­собности под­шип­ни­ками. Периоди­чески измеряя глубину изношен­ного слоя ма­териала, можно для каж­дого подшипника, поставлен­ного под наблюдение, получить свою кривую или реа­ли­зацию изно­са. Пе­ресечение такой реа­лизацией допустимой величины износа x_max , как показа­но на рис.5.4., свиде­тельствует об исчер­пании под­шипником срока службы. Оче­вид­но, что линии из­нашивания для разных подшипников одной серии не совпадут, по­скольку все они различаются не только качест­вом материала и размерами (в пре­делах техноло­гичес­ких до­пусков), но и усло­виями эксплуатации. Причина рассеивания ско­ростей протека­ния процесса изнашивания заключается в том, что скорость накопления по­вре­ждений g - это функция нескольких случайных ар­гументов

g = = j ( P, v, K_т, К_э ) ,

где Р - нагрузка; v - скорость; К_т - технологические факторы; К_э - эксплуатационные факторы.

Каждый из указанных аргументов, являясь случайным и имея определённую сте­пень рассеивания, оказывает влияние на срок службы каждого подшипника, вызы­вая рассеяние сроков службы в соответст­вии с закономерно­стями, характерными для слу­чайных вели­чин (см. рис.2.4.) Та­ким образом, в ре­зультате влияния ука­занных слу­чай­ных факторов мы получа­ем статистические дан­ные о величинах ресурсов каждого от­дельного подшипника и имеем возможность сформиро­вать закон распределения f(x,t), который опре­деляет вероятность выхода параметра x за гра­ницу х_max , т.е. веро­ятность отказа.

Рис.5.5. Виды функций интенсивности от­казов для различных законов распре­деле­ний. 1- экспо­ненци­ального; 2- лога­рифми­чески нормального; 3- Эр­ланга; 4- Рэлея; 5- Вейбулла-Гнеденко; 6- Гамма-распре­деления; 7- нормального

Очень большое значение в выборе вида функции распределения f(t) или, что то же самое, математической модели, описывающей стати­стическим образом процесс по­степенного отка­за ин­тересующей нас дета­ли или элемента, имеет вид кривой `х(t). Поскольку, как показано на рис.5.4, эта линия отражает в ус­ред­нённом виде ха­рактер изменения всех анализируе­мых реа­лизаций износа, то она может быть при­нята в виде функции интен­сивности отка­зов эле­мента от изно­са l (t). С другой стороны, мы располагаем информацией об изменении функций интен­сивно­сти отказов, харак­терных для раз­ных законов рас­преде­ле­ния. Сравнивая их с экспе­риментально по­лученной усреднен­ной зависимо­стью`х(t), можно выб­рать математичес­кое выра­жение для конкрет­ного закона распределения времени безотказ­ной работы, прису­щего тем или иным элемен­там конст­рукции. Неко­торые из исполь­зуемых теоре­тических функ­ций интенсивнос­ти отказов приведены на рис.5.5.

Если интен­сивность увеличивается про­порционально вре­мени работы, то распределение наработки из­делия до отказа описывается законом распреде­ления Рэлея. Когда интен­сив­ность от­казов эле­мента возрастает со време­нем, но имеется не­который пре­дел, то получаем закон распреде­ления Эрланга. Если ин­тен­сивность отказов связана с наработ­кой нелинейно по некоторой степенной зависи­мо­сти, то может иметь место нормаль­ный закон распределения или закон распределе­ния Вейбулла-Гнеденко. Если средняя скорость изнашивания постоянна, то для описа­ния постепенного отказа может быть ис­пользовано гамма-распределение времени без­от­казной рабо­ты. При по­степен­ном уменьшении скорости изнашивания после периода приработки, в качестве модели мо­жет быть использовано логарифмически-нормаль­ное распределение.

ХАРАКТЕРИСТИКА НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛИТЕЛЬНОСТИ РАБОТЫ ЭЛЕМЕНТА ДО ПОСТЕПЕННОГО ОТКАЗА

При моделировании постепенных отказов деталей машин чаще всего использу­ют следующие законы распределения случайных величин: нормальный (Гаусса), лога­риф­мически-нормальный, Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределение и Рэлея.

Нормальное распределение занимает особое место и играет очень важную роль в теории надёжности. Главная его особенность состоит в том, что нормальное распре­де­ление является предельным распределением, к которому приближаются другие зако­ны распре­деления. Распределение всегда подчиняется нор­мальному закону, если на из­мене­ние случайной ве­личины оказывают влияние многие примерно равнозначные фак­торы, действие которых сум­мируется. Основное ограничение, налагаемое на сумми­рование случайных величин, состоит в том, чтобы все величины в общей сумме имели относи­тельно малое значение. Если это условие не выполняется и одно из случайных значе­ний резко превалирует в сумме над всеми другими, то это оказывает влияние на сумму и деформи­рует симметричность распределения. Модель нор­мального закона распреде­ления хорошо опи­сыва­ет отказы, возникающие в элементах конст­рукции ло­комотивов в процессе изнашивания, усталости и коррозии деталей, работающих в но­минальных (расчётных) режимах.

Плотность вероятности нормального за­кона распределения определяется по формуле

.

В отличие от экспоненциального, вид ко­торого определяется только одним па­раметром l, нормальный закон распределения двухпарамет­рический. Его параметрами являются математи­ческое ожидание m_t и сред­неквадрати­ческое от­клонение S_t .

Рис.5.6. Функции распределения ве­ро­ятностей нормированного нор­мального закона: а - плотность рас­пределения; б - вероятность безот­казной работы; в - ин­тенсивность от­казов. 1- S_t = 0.5; 2- S_t = 1; 3- S_t = 2.

Функция распределения вероятностей этого закона

в замкнутом виде не вычисляется. Поэтому для её вычисления используются таблицы нормиро­ванного нормального распределения, для кото­рого m_t=0 и S_t = 1. При введении переменной

плотность вероятности нормированного нор­мального распределения принимает вид:

а функция распределения вероятностей

.

Из уравнений) следует, что F(-z) + F(z) = 1. Отсюда F(-z) = 1 - F(z).

Для случайной величины t, распределён­ной по нормальному закону с математи­ческим ожиданием m_t и среднеквадратическим от­кло­нением S_t, выражение (2.11) свя­зано соот­ноше­нием

Рис.5.7. Функции логарифмически-нор­мального закона распределения c пара­метрами: а- плотность распределения; б- вероятность безотказной работы; в - ин­тен­сивность отказов. 1- S_lnt = 0.5, lnt₀ = 0; 2- S_lnt = 1, lnt₀ = 0; 3- S_lnt = 0,5, lnt₀ = 1.

которое по табличному значению позволяет определить вероятность от­ка­за F(t).

При использовании справочных данных, применяют подстановку , которую обозначают u_p и называют квантилью нормированного нормального закона распре­де­ления. Другими словами, квантиль  это значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности.

Интенсивность отказов l(t) в случае нормального закона распределения являет­ся монотонно возрастающей функцией времени t. Характерные особенности измене­ния функ­ций f(t), Р(t) и l(t) представлены на рис.5.6.

Пример. Требуется оценить вероят­ность безотказной работы и интенсивность от­казов коренных подшипников коленчатого вала дизе­ля после наработки 150 тыс. км. Ре­сурс по из­носу подшипников описывается нормальным законом с параметрами: км; км.

Вероятность безотказной работы связа­на с нормированной случайной величи­ной z, рас­пределённой по нормальному закону соот­но­шением

когда функция распределения случайной вели­чины z задана формулой (2.11).

В нашем слу­чае

Значение Ф(2.5) находим с помощью справочных таблиц. Имеем Р(150×10³) = 0,9938.

Значение интенсивности отказов может быть найдено с помощью соотношения

,

где j(z) определяется по формуле (2.10) и нахо­дится с помощью справочных таблиц. В дан­ном случае

км

Логарифмически-нормальное распреде­ление может быть принято в качестве стати­стической модели в тех случаях, когда случай­ная величина получается в результа­те умноже­ния большого числа небольших отклонений, подобно тому, как нормальное рас­пределение имеет место в случае сложения таких отклоне­ний. Это распределение чаще всего может быть использовано при ана­лизе постепенных отказов в результате наруше­ния прочности и снижения усталостной долго­вечности под влиянием перемен­ных на­грузок и вибрации. Например, отказы элементов механи­ческой части локомоти­вов, ко­ленчатых валов, элемен­тов кривошипно-шатунной группы, сис­тем ав­томатики и элек­тронных систем управле­ния.

Плотность логарифмически нормально­го закона распределения записывается в виде

.

Математическое ожидание lnt₀ и среднеквадратическое отклонение S_lnt нату­рального логарифма случайной величины t, обозначаю­щей наработку, определяются на ос­нове соотно­шений

Функция распределения вероятностей логарифмически-нормального закона за­писы­вается в виде

и её можно связать с нормированной случай­ной величиной z, распределённой по нор­маль­ному закону.

.

Вероятность безотказной работы запи­сы­вается как

а интенсивность отказов имеет вид:

где j -плотность нормированного нормального распределения, определяемая по спра­вочным табл.

На рис.5.7 представлены графики функ­ций плотности рас­пределения, а также ве­роят­ности без­отказной работы и интен­сивности отказов ло­гарифмически-нор­мального закона распреде­ле­ния с различными значениями пара­метров.

Пример. Наработка элемен­тов конст­рук­ции электрон­ных систем управления ло­ко­моти­ва до отказа подчиняется логарифмиче­ски нор­мальному за­кону с параметра­ми lnt₀ =12,4 ; S_lnt =1,6. Необходимо найти вероят­ность без­от­казной работы элемен­тов и ин­тенсивность от­казов при наработке 100 тыс. км.

Подставляя в формулу численные значения параметров распределения, получаем

Рассчитываем величину интенсивности отказов

км.

Рис.5.8. Функции закона распределения Вей­булла-Гнеденко с параметрами: 1- b = 4, a = 1; 2- b = 3, a = 1; 3- b = 2, a = 1; 4- b = 1, a = 1; 5- b = 0.5, a = 1; 6- b =1.5, a = 2: а- плот­ность распределения; б- вероятность безот­казной работы; в- интенсивность отка­зов

Распределение Вейбулла-Гнеденко обычно задаётся двухпараметрической плот­ностью вероятности

где b - параметр формы; a - параметр мас­штаба распределения. Иногда параметр мас­штаба задаётся в виде В этом слу­чае выражение (2.18) преобразуется к виду:

.

Функция распределения вероятнос­тей

.

Вероятность безотказной работы

.

Интенсивность отказов

.

Различные формы функций плотно­сти распределения закона Вейбулла-Гне­денко, а также соответствующие им гра­фики функ­ций вероятности безотказной ра­боты и ин­тенсив­ности отказов приведены на рис.5.8. Как по­казано на рис.5.8, при b < 1 функция плотнос­ти распределения имеет вид убы­вающей функции, а интенсивность отказов также убывает с наработкой ; при b = 1 рас­преде­ление совпадает с экспонен­циальным ; при b > 1 плотность распреде­ления од­но­вершинная с положительной асимметрией, а интенсив­ность отказов воз­растает с на­работ­кой ; при b = 2 интенсив­ность отказов явля­ется линей­ной функцией (этот частный слу­чай распре­деления Вей­булла-Гнеденко сов­падает с рас­пределе­нием Релея); при b =3,3 распределе­ние приблизительно симметрич­но, т.е. близко к нормальному закону рас­пределения ; при b > 3,5 распределение сме­щается вдоль оси времени и приобретает от­рицательную асимметрию.

Функция распределения Вейбулла-Гнеденко используется в качестве матема­ти­ческой модели отказов систем, состоя­щих из ряда элементов, соединённых по­следо­ва­тельно с точки зрения обеспечения безот­казности системы. Например, отказы сис­тем, обслуживающих дизель-генераторную установку: смазки, охлаждения, пита­ния то­пли­вом, воздухом и др.

Пример. Время простоя тепловозов 2ТЭ10В в неплановых ремонтах по вине вспомогательного оборудования подчиняет­ся закону распределения Вейбулла-Гнеден­ко с параметрами b = 2,5 и a = 46. Требует­ся определить вероятность выхода локомо­тивов из неплановых ремонтов после 5 и 25 ч простоя.

Используя соответствующие выражение, нахо­дим интересующие нас вероятности