Тема 3 Математическая и координатная основы цифровых моделей местности Математическая основа цифровых моделей
Одной из задач цифрового моделирования является определение местоположения объектов на поверхности Земли.
Особенность использования картографической информации в том, что преобразование пространственных (трехмерных) данных с поверхности Земли в плоские (двухмерные) координаты карты всегда сопряжено с искажениями.
Карта может быть рассмотрена как двухмерная модель, отображающая трехмерную поверхность Земли. Построение карты связано с моделированием (отображением) трехмерной поверхности в плоскость.
Следует учесть, что в геодезии принято измерения, выполненные на физической поверхности, переносить на математическую поверхность. Эту математическую поверхность называют математической основой. Ее выбирают как модель, наиболее близкую к физической, которая может быть описана соответствующими уравнениями.
В настоящее время в качестве математической основы используют общеземной эллипсоид и референц-эллипсоиды.
Общеземным эллипсоидом называют эллипсоид вращения, плоскость экватора и центр которого совпадает с плоскостью экватора и центром масс Земли и наилучшим образом аппроксимирует поверхность геоида.
Референц-эллипсоидом называют эллипсоид вращения, на поверхность которого отображаются материалы астрономо-геодезических работ, топографических съемок и геодезические.
В России принят референц-эллипсоид ф.Н. Красовского, вычисленный в 1940 г.
Используется данный референц-элипсод с 1946 г.
До 1946 года в России применялся земной эллипсоид Бесселя, размеры которого оказались ошибочными.
Размеры
референц-эллипсоида определяются
длинами его полуосей (а - большая полуось;
b - малая полуось) и сжатием
-
Размеры референц-эллипсоида
Параметры
референц-эллипсоида Ф.Н. Красовского
таковы: большая полуось (а) - 6378245 м; малая
полуось
-
6356863 м; сжатие
-
1:298,3.
2. Картографические проекции
При построении карт пространственное (трехмерное) положение точек отображается в плоском (двухмерном) представлении. Для этого используют картографические проекции как средство преобразования пространственной криволинейной поверхности в плоскую. Одним из принципов создания проекции является принцип геометрического построения.
Существуют различные виды проекций и соответственно проекционных преобразований (около 1000), но все они основаны на формировании специфического рисунка параллелей широты и меридианов долготы эллипсоида на выравниваемую или развертываемую поверхность.
Самыми простыми развертываемыми поверхностями являются плоскость, цилиндр, конус. Это определило три семейства картографических проекций: цилиндрические; конусные и плоскостные (азимутальная) проекции.
Для наглядности можно представить процесс создания проекции таким образом: поместить внутрь прозрачного глобуса, на котором находятся непрозрачные земные объекты, источник света. Этот свет создаст проекцию непрозрачных контуров на двухмерную поверхность, окружающую глобус:
а - Цилиндрическая проекция б - коническая проекция в - азимутальная
(плоскостная) проекция
Необходимо помнить, что при любом способе отображения криволинейной
пространственной поверхности в плоскую происходят различные искажения: координат объектов, длин линий, углов, масштабов и площадей. Одни параметры объектов искажаются больше, другие меньше, в зависимости от размеров территории и вида проекции.
Одной из важнейших характеристик проекций является характер и величина искажений. При этом выделяют следующие виды проекций:
1. Равноугольные проекции. В этих проекциях сохраняются без искажений углы и формы малых объектов, но сильно искажаются длины и площади объектов. В математике такие преобразования называются конформными. Такие проекции используются, например, для навигации и прокладки транспортных маршрутов.
Равновеликие проекции. Эти проекции сохраняют площади всех объектов, но искажают углы и формы объектов. В таких проекциях очень удобно, например, определять площади земельных участков.
Равнопромежуточные проекции. В этих проекциях сохраняются длины вдоль одного из главных направлений (обычно вдоль параллелей либо вдоль одного или всех меридианов).
Произвольные проекции. В таких проекциях не сохраняются длины, площади или углы, однако преобразование проекции подбирается так, чтобы искажения углов, площадей и длин были в целом по карте минимальны. Обычно в центре карты делают минимальные искажения, которые плавно возрастают к краям.
В общем случае выбор проекции должен определяться характером конкретной задачи, но, как правило, каждая страна выбирает для своей территории единые правила картографического проектирования и систему координат.
В России с 1930 года применяется равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера, вычисленная по параметрам эллипсоида Красовского. К.Ф. Гаусс разработал равноугольную проекцию, сохраняющие длины на среднем меридиане в 1820-1830 гг. А в 1919 г Л.Крюгер предложил способ непосредственного отображения рефере-нц-эллипсоида. Поэтому эту проекцию называют проекцией Гаусса-Крюгера. Суть получения проекции в следующем: референц-эллипсоид вписывается в цилиндр гак, чтобы линия касания эллипсоида с цилиндром проходила по осевому меридиану проектируемой зоны. Изображение местности в пределах зоны получается проектированием ее на боковую поверхность цилиндра. Затем цилиндр с полученным на нем изображением разворачивается на плоскость. Так получается карта.
Проекция Гаусса-Крюгера.
В результате поверхность референц-эллипсоида на плоскости отображается по меридианным зонам, ширина которых равна 6° (для карт масштабов 1:500 ООО -1:10 ООО) или 3° (для карт масштабов 1:5 ООО - 1:2 ООО), что позволяет внутри каждой зоны выдерживать искажения в пределах точности, определяемой отраслевыми нормами.
