Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим, что последовательность имеет два предела: с и d. Тогда и , где и – бесконечно малые последовательности (см. замечание выше). Отсюда . Поскольку – бесконечно малая последовательность, по теореме 5 § 3 . Теорема доказана.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. По определению 6 § 3 последовательность бесконечно малая, по теореме 4 § 3 она ограничена, то есть существует число M > 0, такое, что одновременно ограничена и снизу и сверху, поэтому ограничена. Теорема доказана.

Теорема 3. Сумма (разность) сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, причем

.

Доказательство. Пусть . Тогда (см. замечание в конце § 3 и свойства бесконечно малых последовательностей). Теорема доказана.

Теорема 4. Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, причем

26

.

Доказательство. Имеем , , так как – бесконечно малая последовательность (см. замечание в конце § 3 и свойства бесконечно малых последовательностей). Теорема доказана.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть .

Это очевидно, так как .

Теорема 5. Частное двух сходящихся последовательностей и , таких, что , определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, причем

.

Без доказательства.

Пример 1. Вычислим .

Решение. Видим, что последовательности и , стоящие в числителе и знаменателе дроби соответственно, бесконечно большие, то есть стремятся к . В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида , которую нужно раскрыть. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби почленно на (на старшую степень n) и применим теоремы 5 и 3, получим

.

Пример 2. Вычислим .

Решение. Как и в случае примера 1 имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично. Имеем

.

Пример 3. , так как последовательность бесконечно малая, поскольку – бесконечно малая последовательность, а – ограниченная последовательность (см. теорему 3 § 5).

Т

26

еорема 6. Пусть и – две сходящиеся последовательности, имеющие одинаковый предел а. Если, хотя бы начиная с некоторого номера, выполнено неравенство

, (4.1)

то последовательность – сходящаяся, причем .

Доказательство. Пусть , неравенство выполняется, начиная с номера . Возьмем произвольно. Для него существуют и такие, что

, (4.2)

. (4.3)

Положим . Тогда одновременно выполнены все неравенства (4.1) – (4.3), значит,

,

то есть , следовательно, . Теорема доказана.

Теорема 6 часто называется «теоремой о сжатой переменной» или «теоремой о промежуточной переменной», или «теоремой о двух милиционерах». Мы ею часто будем пользоваться в дальнейшем.

Приведем без доказательства еще несколько свойств сходящихся последовательностей, связанных знаком неравенства.

Теорема 7. Если все члены двух сходящихся последовательностей и , по крайней мере, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и пределы этих последовательностей удовлетворяют такому же неравенству, то есть .

Следствие. Если, начиная с некоторого номера, то и ( ).

Заметим, что если , то ( ). Например, для всех n, однако .

Теорема 8. Если ( ), то, начиная с некоторого номера, .