М 1 атрицы

Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида

А = ,

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера . Числа называются ее элементами. Матрица размера называется матрицей-столбцом, размера - матрицей-строкой, размера - квадратной матрицей n-го порядка.

Определение 2. Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: .

Единичной матрицей называется квадратная матрица вида

диагональной матрицей ( =0, если ), а матрица вида -

треугольной матрицей ( = 0, если ). Прямоугольная матрица размера называется ступенчатой, если она имеет вид А =

Определение 4. Матрица называется транспонированной к матрице

, если она получена из матрицы А заменой ее столбцов строками с теми же

номерами, т.е. если .

Таким образом, транспонированная к матрице А размера матрица имеет вид

= и размер .

Определение 5. Суммой (разностью) двух матриц и размера называется матрица размера , элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В .

Определение 6. Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой равны произведению числа на соответствующие элементы матрицы А.

Определители матриц

2

Определение 1. Определителем квадратной матрицы А = 1-го порядка (определителем 1-го порядка) называется число, обозначаемое и равное . Определителем квадратной матрицы 2-го порядка называется число .

Таким образом, определители 2-го и 3-го порядков являются алгебраическими суммами (т.е. суммами и разностями) всевозможных произведений элементов из каждой строки и каждого столбца определителя, причем из каждой строки и каждого столбца берется по одному элементу.

Определение 2.Величина , равная произведению определителя (n – 1)-го порядка , полученного из определителя n-го порядка вычеркиванием i-ой строки и k-го столбца, на число , называется алгебраическим дополнением элемента .

Установим теперь свойства определителей.

Величина определителя:

а) не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами.

б) меняет знак при перемене местами любых двух строк или любых двух столбцов.

в) умножается на число k, если элементы какого-либо его столбца или строки умножить на k.

г) равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю.

д) равна нулю, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны.

е) Разложение Лапласа: сумма произведений элементов некоторой строки или столбца определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя:

, .

Докажем это свойство для определителя третьего порядка в случае третьей строки. Имеем .

Пример 1. .

Пример 2. Если все элементы определителя , стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, то .

Таким образом, определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

ж) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю: .

з

2

) Пусть даны два определителя n-го порядка и , у которых все строки (столбцы) одинаковы, кроме одной строки (одного столбца). Сумма таких определителей равна определителю n-го порядка, у которого указанная строка (столбец) состоит из суммы соответствующих элементов этой строки (столбца) определителей и .

и) Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число k .

(Иллюстрировать лучше на примере определителя 3-го порядка)

Пример 4. Вычислим определитель Вандермонда 4-го порядка (А.Т. Вандермонд (1735-1796) – французский математик).

Решение. Вычтем из элементов 2-ой, 3-ей и 4-ой строк соответствующие элементы 1-ой строки, получим . Вынесем за знак определителя общие множители 2-ой, 3-ей и 4-ой строк (свойство в)), затем вычтем из элементов 3-ей и 4-ой строк полученного определителя соответствующие элементы 2-ой строки: . Вынесем за знак определителя общие множители 3-ей и 4-ой строк, затем вычтем из элементов 4-ой строки полученного определителя соответствующие элементы 3-ой строки:

.

Получился определитель треугольного вида, величина которого равна произведению элементов главной диагонали (см. пример 2), т.е. . Поэтому .