Теорема 70.

Любая ограниченная последовательность имеет верхний и нижний пределы.

Доказательство. Пусть {x_n} - ограниченная поледовательность.

Обозначим через {a} множество всех предельных точек этой последовательности. Так как это множество ограничено и непусто, то оно имеет точные грани.

Обозначим = Sup {a}, = inf {a}.Достаточно доказать, что  {a},  {a}.Проведем доказательство для .Рассмотрим произвольную -окрестность точки и, кроме того, рассмотрим -окрестность точки .По определению точной верхней грани, существует точка a  {a}: a  { -окрестности точки a}, а по определению 2 предельной точки в -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}.Но { -окрестность точки a}  {-окрестности точки }, тем самым, в -окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}

Теорема 71 (Интегрирование по частям).

Пусть u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке X, и пусть функция u(x) и v'(x) и ммет первообразную на промежутке Х, то есть существует . Тогда u(x)v'(x) также имеет первообразную на промежутке Х, и спараведлива формула:

= u(x)v(x) - - формула интегрирования по частям.

Доказательство: Воспользуемся формулой: (uv)' = u'v + uv' , vu' = (uv)' - uv'. uv' имеет первообразную по условию теоремы. (uv)' имеет первообразную uv. Следовательно, и vu' имеет первообразную и справедливо равенство: = uv - .Теорема доказана.

Следствие: Так как u'dx=du, v'dx=dv, то формулу интегрирования по частям можно записать в виде: = uv - .

Теорема 72 (интегрирование заменой переменной).

Пусть функция x=(t) определена и дифференцируема на промежутке T, и пусть промежуток X - множество ее значений. Пусть f(x) определена на X и имеет первообразную F(x). Тогда F((t)) - первообразная для f((t)'(t) на T.

Доказательство.  t  T : F((t))' = '(t) = f((t)'(t).Теорема доказана.

Следствие. = F((t)) + С. F((t)) + С = = .Таким образом, = - формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Теорема 73 (критерий Коши для ряда). Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для для  > 0 нашелся номер Nттакой, что для всех n  N и для всех натуральных p (2).

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что величина под знаком модуля в неравенстве (2) равна разности частичных сумм . Теорема доказана.

Следствие (необходимое условие сходимости ряда). Для сходимости ряда необходимо, чтобы последовательность членов этого ряда являлась бесконечно малой ( ).

Доказательство. Достаточно доказать, что для данного сходящегося ряда и для  > 0 найдется номер N₀ такой, что при n  N₀ .Пусть дано  > 0. По Теореме 73 найдется номер N такой, что при n  N и для любого натурального p выполняется неравенство (2). В частности, при p = 1 (при ) (3). Если теперь взять номер N₀ равным N₀ = N + 1, то при n  N₀ в силу (3) получим , что и требовалось доказать.