Теорема 66 (Больцано-Вейерштрасса).

Теорема 0.1

Существует, и притом только одна, точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.

Доказательство. Из неравенств (1) следует: {a_n} - неубывающая последовательность, {b_n} - невозрастающая. Кроме того, обе эти последовательности ограничены, так как все их члены лежат на сегменте [a,b]. Следовательно, эти последовательности сходятся. Так как b_n - a_n 0 при n  , эти последовательности имеют один и тот же предел. lim a_n = lim b_n = c. Так как {a_n} - неубывающая последовательность, a_n<c (n). n: a_n  c  b_n , то есть c  [a_n , b_n] n. Существование точки, принадлежащей всем сегментам стягивающейся системы, доказано. Докажем теперь, что такая точка только одна. Предположим, существует другая точка d  [a_n , b_n] n. Пусть для определенности d > c. Но в этом случае b_n - a_n  d - c > 0, lim (b_n - a_n) = d - c > 0, что противоречит условию lim (b_n - a_n) = 0.Итак, точка с - единственная, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.

Теорема доказана.

Лемма 1.

Если lim x_n = a, то и любая подпоследовательность этой последовательности сходится к точке a: lim =a.

Доказательство.Так как lim x_n = a, то   > 0 все члены последовательности с номерами k_n  N лежат в -окрестности точки a, а это и означает, что lim =a. Может случиться так, что сама последовательность расходится, то есть не имеет предела, но у нее есть сходящаяся подпоследовательность

.Теорема (Больцано-Вейерштрасса).

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть {x_n} - ограниченная последовательность, то есть все ее элементы лежат на некотором сегменте [a , b]. a  x_n  b (n). Разделим сегмент [a , b] пополам. По крайней мере на одной из половин сегмента [a , b] лежит бесконечно много членов последовательности {x_n}, обозначим эту половину через [a₁ , b₁].Возьмем какой-нибудь : a₁   b₁. Далее разделим сегмент [a₁ , b₁] пополам и обозначим через [a₂ , b₂] ту половину, на которой находится бесконечно много членов последовательности {x_n. Выберем  [a₂ , b₂], k₂ > k₁. a₂   b₂. Затем разделим сегмент [a₂ , b₂] пополам, и так далее. Продолжая этот процесс, получим стягивающуюся систему сегментов [a₁ , b₁], [a₂ , b₂], … , [a_n , b_n], … (так как b_n-a_n =  0 при n  ), и последовательность , которая является подпоследовательностью последовательности {x_n}.  n: a_n   b_n. (1) По теореме 0.1  точка с: lim a_n = lim b_n = c.Отсюда и из неравенства (1) следует, что  c при n  .Таким образом, мы выделили из последовательности {x_n} сходящуюся подпоследовательность. Теорема доказана.

Из теоремы 66 следует, что ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

Теорема 68.

Определение 1.

Число a называется предельной точкой последовательности {x_n}, если из последовательности {x_n} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к a.

Определение 2.

Число a называется предельной точкой последовательности {x_n}, если в любой -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}.

Определения 1 и 2 эквивалентны.

В самом деле, пусть a - предельная точка последовательности {x_n} по первому определению, тогда существует подпоследовательность  a, и в любой -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}, а это и означает, что точка a является предельной точкой последовательности по определению 2.