Теорема 38.

Сумма и разность двух бесконечно малых в точке a функций являются бесконечно малыми в точке а функциями.

Доказательство: Пусть f(x) и g(x)- бесконечно малые в точке x = a. Тогда  > 0  > 0, > 0  x  {0 < | x - a | < ₁}: | f(x) | < ,  x  {0 < | x - a | < }: | g(x) | < . Положим  = min ( , ). Тогда  x  {0 < | x - a | <  }: | f(x)  g(x) | | | + | | < . Это и означает по определению, что f(x)  g(x) - бесконечно малые в точке x = a Теорема доказана.

Следствие. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых в точке x = a функций также является бесконечно малой в точке x = a функцией.

Теорема 39, 40, 41, 42.

Лемма 1:

Если f(x) = b, то f(x) можно представить в виде: f(x) = b + (x), где (x)- бесконечно малая в точке а.

Доказательство: Запишем функцию f(x) в виде f(x) = b + . Остаётся доказать, что (x) = f(x) - b - бесконечно малая в функция в точке a. По определению предела функции,   > 0   > 0,  x  {0 < | x - a | <  }: | f(x) - b | < . То есть | (x) | < . Это и означает по определению, что (x) - бесконечно малая функция в точке а. Лемма 1 доказана.

Лемма 2 (обратная лемме 1): Если f(x) = b + (x), где b -число, (x)-бесконечно малая функция в точке а. то f(x) = 0.

Теорема

Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и пусть f(x) = b, f(x) = c

Тогда: [ f(x)  g(x)] = b  c. f(x)g(x) = bc Если с  0, то в некоторой проколотой окрестности точки а определена функция (то есть g(x)  0) и = .

Доказательство 1.Докажем для суммы. Согласно лемме 1, f(x) и g(x) можно представить в виде: f(x) = b + (x), g(x) = c + (x), где (x) и (x)- бесконечно малые функции в точке а. f(x) + g(x) = (b + c) + [(x) + (x)]. Отсюда по лемме 2 следует, что [ f(x) + g(x)] = b + c. Утверждение 1 для суммы доказано.

Докажем 3.Пусть для определённости c > 0. Возьмём  = , тогда по определению предела функции   > 0,  x  {0 < | x - a | <  }: | g(x) - c | <  = . , или < . Из пдчеркнутого неравенства следует что g(x) > > 0 в проколотой - окрестности точки а. Тем самым определена функция . По лемме 1, f(x) = b + (x), g(x) = c + (x), где (x) и (x) -бесконечно малые в точке а. Поэтому - = - = (с(x)- b(x)). Так как < в проколотой - окрестности точки а и с(x)- b(x) бесконечно малая в точке а, то - = (х) - бесконечно малая в точке а. Итак, = + (х), где (х) бесконечно малая функция в точке а Следовательно, по лемме 2, = . Утверждение 3) доказано. Утверждение 2) доказывается таким же образом. Теорема доказана. Теорема верна также для пределов функций при х  .

Теорема 45 (о локальной ограниченности непрерывной функции).

Если f(x) непрерывна в точке a, то существует окрестность точки a, в которой f(x) ограничена.

Доказательство. Зададим какое-нибудь  > 0, например,  = 1. По определению непрерывности,   > 0: f(x) - f(a)<  при x - a< , или < f(x) < в -окрестности точки a. Это и означает, что f(x) ограничена в -окрестности точки a. Теорема доказана.

Теорема 46 (об устойчивости знака непрерывной функции)

Если f(x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а.

Доказательство. Определение 1: Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если f(x) = f(а)

Замечание: Так как х = а, то условие непрерывности функции можно записать в виде f(x) = f( x). Таким образом, непрерывность f(x) в точке а означает, что символы и f можно менять местами. Определение 2. f(x) называется непрерывной в точке а, если   > 0   > 0: | f(x) - f(а) | <  при | х - а | < . Пусть f(x) непрерывна в точке а и f(а) > 0. Возьмём  = f(a). По определению 2   > 0: | f(x) - f(a) | < f(а) при | х - а | < , то есть - f(a) < f(x) - f(a) < f(a) в - окрестности точки а. Из последнего неравенства следует, что f(x) > 0 в - окрестности точки а. Итак, если f(x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а, что и требовалось доказать. Пусть f(x) определена на [a, a + ). Функция f(x) называется непрерывной в точке а справа, если f(x) = f(а). (то есть f(а + 0) = f(а)). Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.

Теорема 47 (о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение).

Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], f(а) = A, f(b) = B. Тогда  С [A, B]  c  [a, b]: f(c) = C.

Доказательство. Рассмотрим функцию g(x) = f(x) - C. Пусть , для определённости, A < C < B. Тогда

g(a) = f(a) - С = A - C < 0, g(b) = f(b) - C = B - C > 0. Кроме того, g(x) непрерывна на сегменте

[a, b]. Следовательно, по теореме 48  c  [a, b]: g(c) = 0, то есть f(c) - C = 0  f(c) = C, что и требовалось доказать