Теорема 31, 32 (остаточный член в общей форме, в форме Лагранжа.).

Пусть f(x) определена и n+1раз дифференцируема в окрестности точки x₀. Пусть x – любое значение аргумента из этой окрестности, не равное x₀, p – любое вещественное число. Тогда  точка   (x₀, x): R_n+1(x) = f(x) – P_n(x) = . (7) Равенство (7) называется остаточным членом в общей форме.

Доказательство. Введем обозначение: P_n(x) = f(x₀) + … + (x – x₀)ⁿ  (x, x₀). Возьмем  x  x₀ из указанной в условии теоремы окрестности точки x₀. Пусть для определенности x > x₀. x – фиксированное. Возьмем какое-нибудь p > 0. Числовую переменную, изменяющуюся на сегменте [x₀, x], обозначим буквой t: x₀  t  x, и введем функцию: (t) = f(x) - (x, t) - = f(x) - (x, t) - R_n+1(x). (t) на [x₀, x] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: (t) = f(x) - [f(t) + (x – t) + (x – t)² + … + (x – t)ⁿ] - R_n+1(x). Так как f(x) n+1 раз дифференцируема, то (t) непрерывна на [x₀, x], (t) дифференцируема в интервале (x₀, x), (x₀) = f(x) - (x, x₀) - [ f(x) - (x, x₀)] = 0, (x) = 0, (x₀) = (x). По теореме Ролля,    (x₀, x): ’() = 0. ’(t) = - [f’(t) - f’(t) + f’’(t)(x – t) - f’’(t)(x – t) + (x – t)² - … + … - (x – t)^n-1 + (x – t)ⁿ] + p R_n+1(x). Полагая t = , получаем: ’() = (x – )ⁿ + p R_n+1(x) = 0. R_n+1(x) = . (7) Теорема доказана.

Следствия.

p = n + 1. R_n+1(x) = (x – x₀)ⁿ⁺¹ (8) Это остаточный член в форме Лагранжа.

 - x₀ = (x – x₀), 0 <  < 1.  = x₀ + (x – x₀). R_n+1(x) = (x – x₀)ⁿ⁺¹. (8)

p = 1. Тогда R_n+1(x) = (x – x₀)f⁽ⁿ⁺¹⁾(). Так как  = x₀ + (x – x₀), то x -  = (x – x₀)(1 - ). R_n+1(x) = (1-)ⁿ  f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀ + (x – x₀)). (9) Это остаточный член в форме Коши.

Замечание 1.Форма Пеано остаточного члена непосредственно следует из общей формы, а также из форм Лагранжа и Коши.В самом деле, (x – x₀)ⁿ⁺¹ = o((x – x₀)ⁿ) при x  x₀. И поэтому из формул (8) и (9) следует, что и (8), и (9) есть o((x – x₀)ⁿ).

Теорема 33 (формула Коши).

Пусть:

f(x) и g(x) определены и непрерывны на сегменте [a, b],

f(x) и g(x) дифференцируемы в интервале (a, b),

g’(x)  0  x  (a, b). Тогда:  точка c  (a, b): . (1) (это формула Коши)

Доказательство. Прежде всего отметим, что знаменатель в левой части формулы (1) не равен нулю, то есть g(a)  g(b).

В самом деле, если допустить, что g(a) = g(b), то функция g(x) будет удовлетворять всем условиям теоремы Ролля, и тогда найдется такая точка на интервале (a, b), в которой g’(x) = 0, что противоречит условию 3) нашей теоремы.

1-й способ. f(b) – f(a) = f’(c)(b – a), g(b) – g(a) = g’(c)(b – a). Разделив эти равенства друг на друга, получим формулу (1). Это доказательство не годится, так как точки c, вообще говоря, разные.

2-й способ. Введем функцию F(x) = f(x) – f(a) - (g(x) – g(a)). F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В частности, F(a) = F(b) = 0. По теореме Ролля,  точка c  (a, b): F’(c) = 0. f’(c) - g’(c) = 0. . Теорема доказана. Формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши в случае, когда g(x) = x. В этом случае g’(c) = 1, g(a) = a, g(b) = b.

Теорема 34 (Правило Лопиталя).

Пусть: f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в проколотой  - окрестности точки a, Пусть f(x) = g(x) = 0, g’(x)  0 в любой точке из указанной проколотой  - окрестности точки a,  (1) Тогда:  = .

Доказательство. Доопределим f(x) и g(x) в точке a по непрерывности, то есть положим f(a) = g(a) = 0. Тогда f(x) и g(x) будут непрерывны в некоторой окрестности точки a.

Возьмем произвольное x  a из этой окрестности и применим формулу коши для сегмента [a, x]. , где c  [a, x]. Отсюда получаем: . (2) Перейдем в (2) к пределу при x  a. При этом c  a. В силу условия 4) предел правой части равенства (2) существует, следовательно, существует предел левой части равенства, и он равен пределу правой части, то есть = . Теорема доказана