Теорема 24 (Ролля).
Пусть выполнены следующие три условия: f(x) непрерывна на сегменте [a, b], f(x) дифференцируема в интервале (a, b), f’(a) = f’(b). Тогда точка c (a, b): f’(c) = 0.
Доказательство. В
силу второй теоремы Вейерштрасса f(x)
имеет на сегменте [a,
b]
максимальное и минимальное значения.
M
=
f(x),
m
=
f(x).
Возможны два случая: M
= m
=> f(x)
= M
= m
= const.
точки
c
[a,
b]:
f’(c)
= 0. M
> m.
Так как f’(a)
= f’(b),
то по крайней мере одно из своих значений
(M
или m)
f(x)
принимает во внутренней точке c
сегмента [a,
b]
По теореме 7.6 f’(c)
= 0. Теорема Ролля доказана.
Физическая интерпретация теоремы Ролля. Пусть x – время, y = f(x) – координата точки, движущейся по оси y, в момент времени x. В моменты времени a и b точка занимает на оси y одно и то же положение: f(a) = f(b), в промежутке от a до b точка как-то движется по оси y. Для того, чтобы вернуться в исходное положение, точка в какой-то момент времени c должна остановиться, то есть в этот момент ее скорость f’(c) = 0. О роли условий 1) – 3) в теореме Ролля. Если f(a) f(b), то утверждение теоремы Ролля несправедливо.
Теорема 25 (Лагранжа).
Пусть: f(x) непрерывна на [a, b]. f(x) дифференцируема в (a, b). Тогда точка c (a, b): f(b) - f(a) = f’(c) (b - a).
Доказательство.
Введем функцию F(x)
= f(x)
- f(a)
-
(x
- a).
Она удовлетворяет на сегменте [a,
b]
всем условиям теоремы Ролля. В частности,
F(a)
= F(b)
= 0. По теореме 7.7
точка c
(a,
b):
f’(c)
= 0. f’(c)
-
=
0. =>
f(b)
- f(a)
= f’(c)
(b
- a).
Теорема
доказана.
Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа.Пусть x – время, y = f(x) – координата точки, движущейся по оси y в момент времени x. =vср – средняя скорсть точки в промежутке [a, b]. f’(c) – мгновенная скорость в момент c. Теорема Лагранжа показывает, что найдется такой момент c, что мгновенная скорость будет равна средней скорости.
Теорема 30 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
Пусть функция f(x)
n
раз дифференцируема в точке x0,
тогда для функции f(x)
имеет место равенство: f(x)
= Pn(x)
+ o((x
– x0)n),
где Pn(x)
– многочлен Тейлора для функции f(x).
Пусть имеется f(x),
имеющая производные до n-го
порядка. Pn(x)
= f(x0)
+
(x
– x0)
+ … +
(x
– x0)n
=
(x
– x0)k. (3)
Пусть функция f(x)
n
раз дифференцируема в точке x0,
тогда для функции f(x)
имеет место равенство:
f(x) = Pn(x) + o((x – x0)n). (4)
Доказательство.
Введем обозначение: R(x)
= f(x)
- Pn(x)
= f(x)
– [f(x0)
+
(x
– x0)
+ … +
(x
– x0)n-1
+
(x
– x0)n].
Надо доказать, что R(x)
= o((x
– x0)n).
Мы докажем это с помощью правила Лопиталя.
Требуется доказать, что
=
0. (5) Отметим прежде всего, что в силу
условия теоремы сама функция f(x)
и ее производные f’(x),
… , f(n-1)(x)
непрерывны в точке x0.
Поэтому, используя условие (1), получаем:
R(x)
=
[
f(x)
- Pn(x)]
= f(x0)
- Pn(x0)]
= 0. (6)
R’(x)
=
[
f’(x)
– P’n(x)]
= f’(x0)
– P’n(x0)]
= 0. (6’) так далее…
R(n-1)(x)
=
[
f(n-1)(x)
– P(n-1)n(x)]
= f(n-1)(x0)
– P(n-1)n(x0)]
= 0. (6(n-1))
В силу (6) предел (5) является неопределенностью
типа
.
В силу (6’)
также является неопределенностью типа
.
и так далее… В силу (6(n-1))
=
снова является неопределенностью типа
.
Для вычисления последнего предела
рассмотрим выражение для R(n-1)(x).
R(n-1)(x)
= f(n-1)(x)
- f(n-1)(x0)
- f(n)(x0)(x
– x0).
Так как f(n-1)(x)
дифференцируема в точке x0,
то ее приращение в точке x0
тожно представить в виде: f(n-1)(x)
- f(n-1)(x0)
=
(x
– x0)
+ o(x
– x0)
= f(n)(x0)(x
– x0)
+ o(x
– x0).
Следовательно, R(n-1)(x)
= o(x
– x0),
поэтому
=
=
0. Таким образом, применяя к пределу (5)
правило Лопиталя, получим:
=
=
… =
=
0, что и требовалось доказать. Теорема
доказана.