Теорема 21.

Пусть функция t = (x) дифференцируема в точке х₀, а функция y = f(t) дифференцируема в точке t₀, где t₀ = (х₀). Тогда сложная функция F(x) = f((x)) дифференцируема в точке х₀, и имеет место формула F'(х₀) = f'(t₀)'(х₀) = f'((х₀))'(х₀).

Доказательство: Нужно доказать, что приращение функции y = F(x) = f((x)) в точке х₀ можно представить в виде: y = f'(t₀)'(х₀)x + (x)x, (1), где (x)  0 при x  0. (0) = 0. Зададим в точке х₀ приращение аргумента х, равное x. Тогда функция t = (x) получит приращение t = ( х₀ + х) - (х₀). Так как t = (x) дифференцируема в точке х₀ +, то t можно представить в виде : t = '(х₀)x + (x)x. (2), где (x)  0 при x  0. (0) = 0. Приращению t соответствует приращение y = f(t₀+t) + f'(t₀), функции y = f(t). Так как y = f(t) дифференцируема в точке t₀, то y можно представить в виде: y = f'(t₀) t + (t)t. (2), где (t)  0 при t  0. (0) = 0. (3) Подставляя (2) в (3), получим: y = f'( t₀ )('(х₀)x + [f'(t₀)(x) + '(х₀) + (x)]x, где [f'(t₀)(x) + '(х₀) + (x)]  (x). Очевидно, что (x)  0 при х  0, х  0. Тем самым доказано равенство (1), и, значит, 4.4 доказана.

Теорема 22.

Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x₀, дифференцируема в точке x₀, причём производная f '(x₀)  0. Тогда в некоторой окрестности точки у₀(где у₀ = f(x₀)) существует обратная функция x = f ^-1(y), эта обратная функция дифференцируема в точке у₀, и f ^-1'(y₀)= .

Доказательство: Из условий теоремы следует:  [a, b]: y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на [a, b]. причём a < x₀ < b. Поэтому, согласно теореме 3.5, множеством значений f(x), рассматриваемой на [a, b], является сегмент Y = [f(a), f(b)], на Y существует обратная функция x = f ^-1(y), строго монотонная и непрерывная. При этом y₀  (f(a), f(b)). Зададим приращение y  0 аргументу обратной функции в точке y₀. Обратная функция получит приращение х = f ^-1(y₀ + y) - f ^-1(y₀), причем х  0 в силу строгой монотонности обратной функции. Рассмотрим равенство: = . (1) Пусть y  0, тогда х  0 в силу непрерывности обратной функции. Но при х  0 знаменатель в правой части равенства (1) стремится к f '(x₀), причем по условию f '(x₀)  0. Поэтому при y  0 предел правой части равен . Следовательно при y  0 существует предел левой части равенства (1), то есть существует производная обратной функции в точке у₀ и она равна : f ^-1'(y₀)= .

Теорема 23.

Формула dy = f'(x)dx сохраняется и в том случае, когда х является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией x = (x), t - независимая переменная.

Доказательство. y = f((t))  F(t), dy = F'(t)dt. Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции: F'(t) = f'((t))'(t). dy = f'((t))'(t)dt.

Но, так как x = (t), то dx = '(t)dt, dy = f'(x)dx, то есть формула 1 остается в силе и в этом случае. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала. Отметим, что не меняется только форма (вид) первого дифференциала, а содержание меняется. Именно, если х - независимая переменная, то dx = x, если же x = (t), то dy = '(t)dt x. Из формулы (1) получаем, что f'(x) = , (2) то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциалов функции и аргумента также и в том случае, когда аргумент является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией какой-то независимой переменной. В качестве следствия из формулы (2) выведем формулу производной функции, заданной параметрически. Пусть x и y заданы как функции независимой переменной t, которую мы назовём параметром. x = (t), y = (t) (3) пусть параметр t также изменяется на некотором промежутке и пусть t = ^-1(x). Таким образом, уравнения (3) задают функцию f(x). Такое задание функции называется параметрическим. Выведем формулу f'(x). По формуле (2): f'(x) = , но dy = '(t)dt, dx = '(t)dt  f'(x) = . f'(x) = .