9 Вопрос

Функция называется не прерывной на множестве Х если она не прерывная в каждой точке множества Х.

1.Теорема Вейерштрасса . Непрерывная на отрезке функция ограничена и принимает наибольшие и наименьшие значения

2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b

3. Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C.

10 Вопрос

Таблица эквивалентных бесконечно малых

α(x)→0

1	sinα(x)~α(x)
2	arcsinα(x)~α(x)
3	tgα(x)~α(x)
4	arctgα(x)~α(x)
5	loga(1+α(x))~(logae)α(x)
6	ln(1+α(x))~α(x)
7	aα(x)-1~α(x)lna,a>0,a≠1
8	eα(x)-1~α(x)
9	(1+α(x))μ-1~μα(x)
10	1+α(x)n-1~α(x)n
11	1+α(x)-1~α(x)2
12	1-cosα(x)~12α2(x)

11 Вопрос

Функция f: X->R называются бесконечно большими при x->x0 если lim,x->x0,f(x)= inf

Если функция f:X->R , бесконечно большая при х->х0, то функция 1/f являеться бесконечно малой при x->x0.

12 Вопрос

Пусть f: X->R и x0 принадлежит R. Точка а называется переделом функция f слева ,соответственно справа , при х->х0 ,если он является пределом х->x0-0 функции f т.е

Lim,x->x0-0,f(x)=a и соответственно при x->x0+0 т.е lim,x->x0+0,f(x)=a

Классификация точек разрыва

13 Вопрос

Пусть функция у=ф(х) определена в некоторой окрестности точки х0 принадлежит R и пусть х произвольная точка этой окрестности . Если отношение (ф(х)-ф(х0))/(х-х0) имеет придел при х->х0, то этот предел называется производной функции ф в точке х0 или, что то же, при х=х0 и обозначается ф’(х0)

Ф’(х0)=lim,x->x0,(ф(х) –ф(х0))/(х-х0)

Если весть обозначение дх(дельта х)=х-х0 то запись примет вид

Ф’(х0)=lim,дx->0,(ф(х0-дх)-ф(х0))/дх

 Число   является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t₀) = s'(t₀)выражает мгновенную скорость движения в момент времени t₀. Вторая производная a(t₀) = s''(t₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t₀.

14 Вопрос

Функция у=ф(х) , определённая в некоторой окрестности U(x0) точка х0 принадлежит R , называется дифференцируемой при х=х0 ,если ее приращение это точке , т.е ду(дельта у)=ф(х0+дх)-ф(х0) , х0+дх принадлежат U(х0) приставим в виде

Ду= А*дх+о(дх), дх->0

Где А постоянная . Адх назваться дифференциалом функции ф в точке х0 и обозначает dф(х0) или короче dу

если функция ф дифференцируема в некоторой точке , то она и непрерывна в этой точке.

15 Вопрос

Для того что бы функция ф была дифференцируема в некоторой точке х0, необходимо и достаточно , чтобы она имела производную в этой точке ;при этом dу=ф’(х0)dх

Правила

(У1+у2)’=y1’+y2’ ; (y1*y2)’=y1’y2+y1y2’ ;(y1/y2)’=(y1’*y2-y1*y2’)/y2**2)