21 Вопрос

1. Найти область определения и область значения (если можно) функции;

2. Указать точки разрыва функции и определить их тип;

3. Найти нули функции( пресечения с ох и оу) области, где функция положительна и отрицательна;

4. Исследовать функцию на четность и нечетность, на периодичность;

5. Определить интервалы монотонности функции (возрастание, убывание функции), точки экстремума функции;

6. Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции, найти точки перегиба;

7. Найти асимптоты функции (горизонтальные, вертикальные и наклонные);

Монотонность Функция Если во всех внутренних точках промежутка производна положительна (отрицательна), функция строго возрастает (убывает ) на этом промежутке.

Точки экстремума точки смена монотонности функции.

Точки перегиба выпуклости и вогнутости : функция выпукла вниз(вверх) на промежутке если ее вторая производная положительна(отрицательна) точками перегиба называться точки смена выпуклости.

Асимптоты

Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела  .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1. 

2. 

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела

.

Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида   при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен  ), то наклонной асимптоты при  (или  ) не существует!

22 Вопрос

Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки  , и дифференцируема в ней:  . Касательной прямой к графику функции f в точкеx₀ называется график линейной функции, задаваемой уравнением

.

Нормаль . Всякая пряма , проходящая через точку кривой и перпендикулярная касательной в этой точке называется нормалью к кривой в данной точке

Уравнение нормали

Полярная система координат (р, f-(фи)) где р >=(больше или равен)0 ,pi<f=<pi. Где р длина радиуса данной точки а f угол наклона радиуса с осью ох.

Если М=(x,y) где как обычно х,у декартова система координат точки М , то

Х=р cos (f) , y= p sin (f) обратная связь вырождается формулой p=( x**2 +y**2)**1/2 f=arctg y/x +k pi.

Где к=0 если x>=0 k=1 если x<0 y>0 и k=-1 если x<0 y<0.

23 вопрос

го числа переменных.

24 вопрос

25 вопрос

26 вопрос

Вопрос 27

Производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производную по направлению дифференциируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления: ,

где — орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора

Градие́нт— вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой.

Свойства градиента

1. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно .

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.