6. Аксиома Парето и эффективные варианты.

Сравнение между собой векторных критериев представляет собой достаточно сложную проблему.

Пример. U = (u,v,s,t) - множество альтернатив

	k1	k2	k3
u	5	3	7
v	4	3	6
s	5	2	7
t	6	3	1

k (u)  k (v), i =1:3, поэтому K(u)P K(v).

k (u)  k (s), i =1:3, поэтому K(u) P K(s), варианты s и v оказались доминируемыми, а остальные векторные оценки сравнить невозможно: k (u) N k (t) Таким образом все множество векторных оценок делится на два подмножества: эффективных { k(u),k(t)} и неэффективных { k(v), k(s)} векторных оценок. Из приведенного примера можно сделать важный вывод: если вариант имеет абсолютный max по какому-либо показателю, то он не может быть доминирован.

Аксиома Парето: Пусть даны две векторные оценки:

K(u)= ( k₁ (u), k₂ (u), ... k_m (u)) и

K(v)= ( k₁ (v), k₂ (v), ... k_m (v))

K(u) P K(v), если существует хотя бы одно j от 1 до m такое что:

 i  j k_i (u) I k_i(v), или k_i (u) P k_i(v), а k_j (u) P k_j (v).

P - "предпочтительность в смысле Парето".

Все векторные оценки, для которых не существует более предпочтительных в смысле Парето векторных оценок, образуют множество H^о эффективных векторных оценок, а соответствующие варианты - множество v^о - эфективных вариантов. Для нашего примера: H = { K(u), K(v), K(s), K(t)}, H^о = { K(u), K(t)} - множество эффективных векторных оценок. Определение множеств эффективных векторных оценок обычно не позволяет получить в чистом виде решение задачи, но является важным и обязательным этапом, так как практически всегда происходит сокращение имеющихся вариантов, кроме того, для H^о и v^о могут выполняться допущения не верные для H и v, то есть задача в дальнейшем может упрощаться за счет дополнительных правил или информации после сокращения. Принадлежность к v полученного решения - некоторая гарантия правильности результата. Полученное множество оптимальных векторных оценок последовательно суживается с использованием дополнительной информации, искусственных методов или с помощью введения новых правил. Рассмотрим некоторые из этих подходов.

7. Методы сравнения векторных оценок с использованием дополнительной информации. Примеры.

С помощью нормализации частных критериев строятся пошаговые математические алгоритмы сужения исходного множества векторных критериев до единственного решения, которое можно оценить с заданной точностью. На каждом новом шаге обычно требуется новая уточняющая информация о важности критериев, что делает эти (многошаговые) методы трудоемкими. Более удобными для использования на практике, но менее точными являются одношаговые методы.В одношаговых методах вся исходная информация задается сразу при постановке задачи. Как правило одношаговые методы позволяют получить единственное решение, но принимаемые при этом допущения настолько сильны, что использовать их разумно только для первичных оценок, прикидок или при принятии не ответственных решений. Одношаговые методы делятся на две подгруппы: эвристические (не имеют сторогого обоснования, применяются только для конкретных типов задач) и аксиоматические ( базируются на некоторой системе аксиом). Среди эвристических одношаговых методов наиболее наглядным является метод главного критерия. Суть этого метода заключается в том, что среди частных критериев выбирается один, который назначается главным. На остальные частные критерии налагаются ограничения с помощью порогов допустимых значений. После этого задача сводится к задаче линейного программирования на отыскание условного экстремума. При этом нормализация исходных данных необязамельна.