23. Принятие коллективного решения. Голосование.(Процедуры Борда, Кондорсе, Симпсона).

Голосование — один из наиболее распространенных, популяр¬ных и давно известных способов коллективного принятия реше¬ний, который применяется для выбора наиболее предпочтитель¬ного для всех варианта в различных по размеру группах. Если число избирателей достаточно велико, то такой выбор называют социальным или общественным.

Разные системы голосования отличаются используемыми процедурами сравнения вариантов, правилами подсчета голосов и определения победителей, формами организации и проведения выборов. «Честные» выборы предполагают независимость изби¬рателей, свободу волеизъявления голосующих, отсутствие нару¬шений установленных процедур и правил голосования. Вместе с тем, как оказалось, разные системы голосования могут давать различные результаты даже при соблюдении всех условий «чест¬ности» выборов.

Обоснование процедур голосования и формализация правил подсчета голосов для определения победителей были одними из первых задач коллективного принятия решений, привлек¬ших внимание исследователей. Еще в конце XVIII в. француз¬ские ученые Жан Борда, математик, физик и морской штурман, и маркиз Жан де Кондорсё, общественный деятель, секретарь Французской академии, философ-просветитель, математик и со¬циолог, приступили к систематическому изучению задачи голо¬сования. Борда доложил свои результаты по формам выборов на заседании Королевской академии наук в Париже в 1770 г. и опубликовал их в 1784 г., а Кондорсё — в 1785 г. В XIX в. про¬блемы голосования изучались французским математиком и фи¬зиком П. Лапласом и английским математиком Ч. Доджсоном. Первым же, кто предложил (1951) аксиоматику рационального коллективного выбора, был К. Эрроу, американский математик и экономист, впоследствии лауреат Нобелевской премии.

Голосование объединяет два механизма: индивидуальный вы¬бор избирателей и подведение итогов выборов, которые обыч¬но выполняются разными людьми. Индивидуальный выбор осу ществляется всеми избирателями, которыми могут быть жители страны, области или города, члены комитета или жюри. Очевид¬но, механизмы голосования и волеизъявления должны быть про¬стыми и понятными для всех избирателей. Для выявления ин¬дивидуальных предпочтений избирателей применяются две ос¬новные разновидности процедур: неранжирующая и ранжирую¬щая.

В неранжирующей процедуре голосования каждый избира¬тель отдает свой голос за один или несколько имеющихся аль¬тернативных вариантов. В одних процедурах следует голосовать только за определенное число вариантов, например за одного кандидата на парламентских выборах или за нескольких претен¬дентов по числу лиц, избираемых в состав руководящего органа; в других допускается голосование за любое произвольное число вариантов. Голоса, поданные за каждый вариант, суммируются.

В ранжирующих процедурах голосования требуется, чтобы каждый избиратель оценивал все имеющиеся варианты. В одних случаях предлагается полностью или частично упорядочить все варианты по предпочтительности и расположить их в порядке убывания предпочтительности; в других необходимо провести парное сравнение вариантов и указать предпочтительность од¬ного из них.

Результаты голосования подводит независимая избирательная комиссия по определенным правилам и под строжайшим наблюдением и контролем. Механизм подсчета голосов может быть и не очень простым по сравнению с механизмом голосования, но он должен быть прозрачным, точным и эффективным.

При подсчете голосов учитывается ряд дополнительных условий. Если все избиратели являются равноправными участниками, то обычно один голосующий имеет 1 голос или т голосов по числу сравниваемых вариантов при так называемом кумулятивном голосовании. В последнем случае голосующий должен по своему усмотрению распределить эти т голосов между произвольными вариантами. Если избиратели неравноправны, то каждый из них располагает определенным и, как правило, неравнозначным числом голосов. Например, председатель жюри или генеральный директор компании имеет право на два голоса при рассмотрении спорных ситуаций; акционер имеет число голосов, равное количеству принадлежащих ему акций; выборщики на выборах президента США имеют число голосов, равное числу избирателей штата, и все эти голоса отдаются одному кан¬дидату, победившему в штате на промежуточных выборах.

Процедура Борда (1770) была исторически первой системой голосования, где использовалась ранжирующая процедура учета мнений голосующих. Она является естественным и коррект¬ным способом коллективного выбора, который обеспечивает всем участникам возможность выразить индивидуальные предпочтения и позволяет учесть интересы меньшинства. Процедура состоит из следующих шагов.

1. Каждый участник ранжирует все варианты A , ..., Ат по предпочтительности.

2. В каждом s-м индивидуальном строгом упорядочении пер¬вый вариант получает m — 1 баллов, второй вариант — m — 2 баллов, последний вариант — 0 баллов. Очевидно, что в s-м упо¬рядочении балл Борда b (Ai) каждого варианта Ai равен чис¬лу r (Ai,Aj) вариантов Aj, которые уступают варианту Аi.

Здесь величина (Ai,Aj) = 1, если Ai Aj, r (Ai,Aj) = 0, если Ai Aj.

3. Для каждого варианта Ai вычисляется значение функции Борда равное сумме баллов Борда (Ai), присвоенных варианту Ai во всех индивидуальных упорядочениях.

4. Упорядочение вариантов строится по убыванию значения функции Борда fв(Аi). Лучший вариант А* определяется максимальным значением функции Борда

А* е arg max 1<г<т

Отметим, что балл Борда (Ai) связан с рангом варианта Ai, введенным формулой (3.1), соотношением: (Ai) + = m. Тем самым убывающая последовательность баллов

Борда эквивалентна возрастающей последовательности рангов вариантов .

Пример 21.11. Предположим, что 60 избирателей должны выбрать одного из трех кандидатов А, В и С. Пусть при исполь¬зовании ранжирующей процедуры учета мнения избирателей их индивидуальные предпочтения распределились следующим об¬разом:

; ; ; С У ; С .

Вычислим значение функции Борда для каждого из кандидатов, полагая, что в индивидуальном упорядочении первому кандидату присваивается 2 балла, второму — 1 балл, третьему — 0 баллов.

Тогда получаем:

для кандидата А

(А) = 2 • (23) + 1 • (2 + 10) + 0 • (17 + 8) = 58; для кандидата В

(B) = 2 • (17 + 2) + 1 • (23 + 8) + 0 • (10) = 69;

для кандидата С

(C) = 2 • (10 + 8) + 1 • (17) + 0 • (23 + 2) = 53.

Упорядочение кандидатов в соответствии со значениями

функции Борда имеет вид: В А С, поскольку

fB(B) > (А) > (С)- Лучшим является кандидат В.большинством голосов, как превосходящий всех» . Другими слова¬ми, принцип Кондорсе гласит: победителем на выборах объявляется кандидат, превосходящий при попарном сравнении все$ остальных кандидатов по правилу простого большинства голо¬сов. В таком случае нет необходимости проводить многократное баллотирование кандидатов.

Процедура Кондорсе (1785), реализующая этот принцип, бази¬руется на ранжирующей процедуре учета мнений голосующих и состоит из следующих шагов.

1 — 3. Совпадают с шагами 1 — 3 модифицированной проце¬дуры Борда и состоят в построении группового распределения участников, попарно сравнивающих предпочтительность вари¬антов по отношению друг к другу во всех полученных индиви¬дуальных строгих упорядочениях.

4. Лучший вариант при попарном сравнении вариантов опре¬деляется по правилу простого большинства голосов.

Пример 21.3. Пусть выполняются условия примера 21.1 и предпочтения избирателей при попарном сравнении кандидатов А, В л С распределились так:

24. Принятие коллективного решения. Голосование. (Процедуры Доджсона, Нансона и Кумбса, Коупленда и Фишберна).

Голосование — один из наиболее распространенных, популяр¬ных и давно известных способов коллективного принятия реше¬ний, который применяется для выбора наиболее предпочтитель¬ного для всех варианта в различных по размеру группах. Если число избирателей достаточно велико, то такой выбор называют социальным или общественным.

Разные системы голосования отличаются используемыми процедурами сравнения вариантов, правилами подсчета голосов и определения победителей, формами организации и проведения выборов. «Честные» выборы предполагают независимость изби¬рателей, свободу волеизъявления голосующих, отсутствие нару¬шений установленных процедур и правил голосования. Вместе с тем, как оказалось, разные системы голосования могут давать различные результаты даже при соблюдении всех условий «чест¬ности» выборов.

Обоснование процедур голосования и формализация правил подсчета голосов для определения победителей были одними из первых задач коллективного принятия решений, привлек¬ших внимание исследователей. Еще в конце XVIII в. француз¬ские ученые Жан Борда, математик, физик и морской штурман, и маркиз Жан де Кондорсё, общественный деятель, секретарь Французской академии, философ-просветитель, математик и со¬циолог, приступили к систематическому изучению задачи голо¬сования. Борда доложил свои результаты по формам выборов на заседании Королевской академии наук в Париже в 1770 г. и опубликовал их в 1784 г., а Кондорсё — в 1785 г. В XIX в. про¬блемы голосования изучались французским математиком и фи¬зиком П. Лапласом и английским математиком Ч. Доджсоном. Первым же, кто предложил (1951) аксиоматику рационального коллективного выбора, был К. Эрроу, американский математик и экономист, впоследствии лауреат Нобелевской премии.

Голосование объединяет два механизма: индивидуальный вы¬бор избирателей и подведение итогов выборов, которые обыч¬но выполняются разными людьми. Индивидуальный выбор осу ществляется всеми избирателями, которыми могут быть жители страны, области или города, члены комитета или жюри. Очевид¬но, механизмы голосования и волеизъявления должны быть про¬стыми и понятными для всех избирателей. Для выявления ин¬дивидуальных предпочтений избирателей применяются две ос¬новные разновидности процедур: неранжирующая и ранжирую¬щая.

В неранжирующей процедуре голосования каждый избира¬тель отдает свой голос за один или несколько имеющихся аль¬тернативных вариантов. В одних процедурах следует голосовать только за определенное число вариантов, например за одного кандидата на парламентских выборах или за нескольких претен¬дентов по числу лиц, избираемых в состав руководящего органа; в других допускается голосование за любое произвольное число вариантов. Голоса, поданные за каждый вариант, суммируются.

В ранжирующих процедурах голосования требуется, чтобы каждый избиратель оценивал все имеющиеся варианты. В одних случаях предлагается полностью или частично упорядочить все варианты по предпочтительности и расположить их в порядке убывания предпочтительности; в других необходимо провести парное сравнение вариантов и указать предпочтительность од¬ного из них.

Результаты голосования подводит независимая избиратель¬ная комиссия по определенным правилам и под строжайшим наблюдением и контролем. Механизм подсчета голосов может быть и не очень простым по сравнению с механизмом голосова¬ния, но он должен быть прозрачным, точным и эффективным.

При подсчете голосов учитывается ряд дополнительных усло¬вий. Если все избиратели являются равноправными участника¬ми, то обычно один голосующий имеет 1 голос или т голосов по числу сравниваемых вариантов при так называемом куму¬лятивном голосовании. В последнем случае голосующий дол¬жен по своему усмотрению распределить эти т голосов между произвольными вариантами. Если избиратели неравноправны, то каждый из них располагает определенным и, как правило, неравнозначным числом голосов. Например, председатель жю¬ри или генеральный директор компании имеет право на два го¬лоса при рассмотрении спорных ситуаций; акционер имеет число голосов, равное количеству принадлежащих ему акций; выбор¬щики на выборах президента США имеют число голосов, равное числу избирателей штата, и все эти голоса отдаются одному кан¬дидату, победившему в штате на промежуточных выборах.