Стійкість сак. Обґрунтуйте критерій стійкості Михайлова

Як і критерій Гурвіца, критерій Михайловабазується на аналізі характеристичного рівняння системи. Нехай ліва частина рівняння, що називається характеристичним поліномом, має вигляд:

F(p)= a₀pⁿ + a₁p^n-1 + …+ a_n. (5.1)

Підставивши в цей поліном замість змінної р чисто уявний корінь, який в подальшому буде позначатись j , одержимо функцію комплексної змінної:

F(j)= a₀ (j)ⁿ + a₁ (j)^n-1 +…+a_n. (5.2)

Функцію (5.2) можна подати у вигляді суми дійсної і уявної частин:

F(j) = P()+jQ(). (5.3)

Дійсна частина P() містить тільки парні степені змінної :

P()= a_n – a_n-2² + a_n-4⁴ – …, (5.4)

а уявна частина Q() – тільки непарні:

Q()= a_n-1 – a_n-3³+ … (5.5)

Кожному фіксованому значенню змінної відповідає комплексне число, яке можна зобразити у вигляді вектора на комплексній площині. Якщо змінювати параметр  від 0 до , то кінець вектора F(j)опише деяку криву (рис. 5.1), яка називається характеристичною або годографом Михайлова. По виду цієї кривої судять про стійкість системи.

Формулювання критерію Михайлова: aвтоматична система керування стійка,якщо годограф Михайлова починається на дійсній додатній осі і проти годинникової стрілки послідовно проходить n-квадрантів (n – степінь характеристичного рівняння).

З виразу (5.4) і (5.5) випливає, що крива F(j) завжди почи-

н ається в точці на дійсній осі, віддаленій від початку координат на величину а_п..

На рисунку 5.2 приведені характеристичні криві, що відповідають стійким системам. Криві мають плавну спіралеподібну форму і прямують у нескінченість в тому квадранті, номер якого рівний порядку рівняння. Якщо характеристична крива проходить п квадрантів непослідовно або проходить менше число квадрантів, то система нестійка (рис.5.3). Якщо крива F(j) проходить через початок координат, то система знаходиться на межі стійкості. Дійсно, якщо характеристичне рівняння має один нульовий корінь р_к = 0 або одну пару чисто уявних коренів р_к = , то функція F(j) при = 0 або  = _к обернеться в нуль.

Критерій Михайлова зручно застосовувати для аналізу стійкості систем високого порядку (п> 5).

Стійкість САК. Частотний критерій стійкості

Частотні критеріївизначають зв'язок між стійкістю системи і формою частотних характеристик системи.

Частотнікритеріїстійкостідозволяютьсудити про стійкість САК по виду їїчастотних характеристик. Цікритерії є графоаналітичними і маютьширокепоширення, тому щодозволяютьпорівняно легко досліджуватистійкість систем високихпорядків, а такожмаютьпростугеометричнуінтерпретацію. До цієїгрупи належать критерії Михайлова і Найквіста.

Стійкість систем автоматичного керування. Поняття стійкості

Однією з найважливіших характеристик автоматичної системи керування є стійкість. Цим поняттям характеризують працездатність системи.

Стійкість автоматичної системи - це властивість системи повертатися у вихідний стан рівноваги після припинення дії збурення, яке вивело систему із цього стану. Система є стійкою, якщо вільна складова перехідного процесу із часом прагне до нуля, тобто якщо

. (5.1)

Для стійкості лінійної САК необхідно і достатньо, щоб дійсні частини всіх коренів характеристичного рівняння системи були негативними (див. рис. 5.1).

Рис. 5.1 - Вплив коренів характеристичного рівняння системи на складові її вільного руху

У ТАК розроблено ряд правил, за допомогою яких можна судити про знаки коренів, не вирішуючи характеристичне рівняння і не знаходячи числові значення самих коренів. Ці правила називаються критеріями стійкості.

Найпростішим критерієм стійкості є умова позитивності коефіцієнтів характеристичного рівняння. Позитивність коефіцієнтів рівняння є необхідною (але не достатньою) умовою стійкості системи. Це означає, що якщо усі коефіцієнти позитивні, то система може бути стійкою або нестійкою. Але якщо хоча б один коефіцієнт рівняння негативний або дорівнює нулю, то система нестійка.

Критерії стійкості можуть бути алгебраїчними і частотними.

Алгебраїчні критерії встановлюють необхідні та достатні умови від’ємності коренів у формі обмежень, що накладаються на певні комбінації коефіцієнтів характеристичного рівняння.