Вопрос 30. Исследование уравнения общего вида кривой второго порядка.

Тип кривой опр. при старших членах A₁, B₁, C₁

A₁x₁²+2Bx₁y₁+C₁y₁²+2D₁x₁+2E₁y₁+F₁=0

1. AC=0 ->кривая параболического типа

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax²+2Dx+2Ey+F=0

Если Е=0 => Ax²+2Dx+F=0

то x1=x2 - сливается в одну

x1≠x2 - прямые параллельны Оу

x1≠x2 и корни мнимые, не имеет геометричекого образа

С≠0 А=0 =>C₁y₁²+2D₁x₁+2E₁y₁+F₁=0

Вывод: кривая параболического типа это либо парабола, либо 2 параллельные прямые, или мнимые, или в одну сливаются.

2.AC>0 -> кривая эллиптического типа

Дополняя до полного квадрата исходное уравнение преобразуем к каноническому, тогда получим случаи

(x-x₀)²/a²+(y-y₀)²/b²=1 - эллипс

(x-x₀)²/a²+(y-y₀)²/b²=-1 - мнимый эллипс

(x-x₀)²/a²-(y-y₀)²/b²=0 - точка с координатой x₀ y₀

Вывод: кривая эл. типа ето либо эллипс, либо мнимый, либо точка

3. АС<0 - кривая гиперболического типа

(x-x₀)²/a²-(y-y₀)²/b²=1 гипербола, действительная ось параллельна Ох

(x-x₀)²/a²-(y-y₀)²/b²=-1 гипербола, действительная ось параллельна Oy

(x-x₀)²/a²-(y-y₀)²/b²=0 ур-е двух прямых

Вывод: кривая гиперболического типа это либо гипербола, либо две прямые