9 Вопрос.

Системы линейных уравнений. Условие совместимости линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Решением системы алгебраических уравнений называется такая совокупность n чисел C1,C2,C3……Cn, которая при подстановки в исходную систему на место x1,x2,x3…..xn обращает все уравнения системы в тождества.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет бесчисленно много решений.

Условия совместности систем линейных алгебраических уравнений.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

ТЕОРЕМА: Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу матрицы А.

RgA’=RgA

Замечание: Эта теорема даёт лишь критерии существования решения, но не указывает способа отыскивания решения.

10 Вопрос.

Системы линейных уравнений. Метод базисного минора - общий метод отыскивания всех решений систем линейных уравнений.

a11 a21…..a1n

A=a21 a22…..a2n

. . . . . . . . . . . . .

am1 am2…amn

Метод базисного минора:

Пусть система совместна и RgA=RgA’=r. Пусть базисный минор расписан в верхнем левом углу матрицы А.

….. x d1

….. x d2

…………….. … =

….. x dr

d1 b1-a -…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

detA

Xi=

Замечания: Если ранг основной матрицы и рассматриваемой равен r=n, то в этом случае dj=bj и система имеет единственное решение.

11Вопрос.

Однородные системы линейных уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

AX=0 – однородная система.

АХ =В – неоднородная система.

Однородные системы всегда совместны.

Х₁ =х₂ =..=х_n =0

Теорема 1.

Однородные системы имеют неоднородные решения, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.

r<n

Теорема 2.

Однородная система n-линейных уравнений с n-неизвестными имеет не нулевое решение, когда определитель матрицы А равен нулю. (detA=0)

Свойства решений однородных систем.

Любая линейная комбинация решения однородной системы сама является решением этой системы.

α₁C₁ +α₂C₂ ; α₁ и α₂– некоторые числа.

А(α₁C₁ +α₂C₂) = А(α₁C₁) +А(α₂C₂) = α₁(А C₁) + α₂(АC₂) = 0,т.к. (А C₁) = 0; (АC₂) = 0

Для неоднородной системы это свойство не имеет места.

Фундаментальная система решений.

Теорема 3.

Если ранг матричной системы уравнения с n-неизвестными равен r, то эта система имеет n-r линейно-независимых решений.

Пусть базисный минор в левом верхнем углу. Если r< n, то неизвестные х _r+1;х_r+2;..х_n называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как А^r Х^r =В^r

=

C¹ = (C¹₁ C₂¹ .. C_r¹ , 1,0..0)

C² = (C²₁ C²₂ .. C²_r ,0, 1..0) <= Линейно-независимы.

……………………..

C^n-r = (C^n-r₁ C^n-r₂ .. C^n-r_r ,0, 0..1)

Система n-r линейно-независимых решений однородной системы линейных уравнений с n-неизвестными ранга r называется фундаментальной системой решений.

Теорема 4.

Любое решение системы линейных уравнений есть линейная комбинация решения фундаментальной системы.

С = α₁C¹ +α₂C² +.. + α_n-r C^n-r

Если r<n, то α – произвольные постоянные; если r=n – одно решение (нулевое).