27 Вопрос .

Линии Второго Порядка. Канонические уравнения линий второго порядка

Рассм. Общий вид алгебраического Ур-я второго порядка

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0

Вид кривой	Каноническое уравнение	Инварианты
Невырожденные кривые ( )
Эллипс
Гипербола
Парабола
Вырожденные кривые (Δ = 0)
Точка
Две пересекающиеся прямые
Две параллельные прямые
Одна прямая

28 Вопрос.

Эллипс. Вывод Канонического уравнения эллипса. Форма. Свойства

Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных расстояний, называемых фокусами есть данное число 2a, большее чем расстояние 2c между фокусами.

рис2

Вывод уравнения эллипса.

 Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы    и   лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка  . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты:

и  .

Пусть M(x,y) – произвольная точка. Тогда MF1+MF2=2a, т.е.

Так как a > с, то  . Положим

   

Тогда последнее уравнение примет вид  или

   

Исследование формы эллипса и св-ва

y²/b²=1-x²/a² =>±b/a умножить на корень из(a²-x²)

Рассм случай когда x>=0 y>=0

X=a y=0

X=0 y=b

x>a a²-x² <0

отрезок 2a большая полуось эллипса

отрезок 2b малая полуось эллипса.

Точки пересечения эллипса с осями называют его вершинами

Эксентриситет – отношение расстояния между фокусами к длине большой оси.

e=c/a= 0=<e<1

на рис.2 r₁=a+ex r₂=a-ex

Ур-е касательной к эллипсу

Ур-е касательной в точке М

d-директриса = a/e-x

e=r/d – основное св-во директрис

Вопрос 29. Гипербола и парабола: каноническое уравнение форма и свойства.

Гипербола - геометрическое место для котороых разность расстояний между двумя фиксированными точками, называемых фокусами есть величина постоянная

MF₁-MF₂=±2a

вывод канонического уравнения будет происходить аналогично эллипсу

- каноническое уравнение гиперболы

Форма и св-ва

y=±b/a умножить на корень из (x²-a²)

Ось симметрии гиперболы - её оси

Отрезок 2a - действительная ось гиперболы

Эксентриситет e=2c/2a=c/a

Если b=a получается равнобокая гипербола

Ассимтотой - называется прямая, если при неограниченном удалении точки M1 по кривой расстояние от точки до прямой стремится к нулю.

lim d=0 при x-> ∞

d=ba²/(x₁+(x²₁-a²)^1/2/c)

касательная гиперболы

xx₀/a² - yy₀/b² = 1

парабола - геометрическое место точек, равноудаленное от точки, названной фокусом и данной прямой, названной директриссой

P-F(P/2; 0)

d=FM

M(x,y)

- каноническое уравнение параболы

свойства

ось симметрии параболы проходит через её фокус и перпендиукулярна директрисе

если вращать параболу получится эллиптический параболоид

все параболы подобны