5 Вопрос.

Миноры матрицы. Базисные миноры. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.

Минором порядка к матрицы А называется определитель элементы которого расположены на пересечении к-строк и к-стролбцов матрицы А.

Если все миноры к-го порядка матрицы А =0, то любой минор порядка к+1 тоже равен 0.

Базисный минор.

Базисным минором матрицы А называется минор наибольшего к-го порядка отличного от 0.

Рангом матрицы А называется порядок её базисного минора.

Метод окаймляющих миноров: -Выбираем не нулевой элемент матрицы А ( Если такого элемента не существует, то ранг А =0)

Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка. (Если этот минор не равен 0, то ранг >=2) Если ранг этого минора =0, то окаймляем выбранный минор 1-го порядка другими минорами 2-го порядка. (Если все миноры 2-го порядка =0, то ранг матрицы = 1).

6Вопрос.

Ранг матрицы. Способы нахождения ранга матрицы.

Рангом матрицы А называется порядок его базисного минора.[RgA]

Способы вычисления:

1) Метод окаймляющих миноров: -Выбираем ненулевой элемент матрицы А (если такого элемента нет, то ранг =0) – Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка. (Если этот минор , то r=RgA>=2). Если ранг этого минора = 0, то окаймляем выбранный минор 1-го порядка другим минором 2-го порядка. (Если все миноры второго порядка =0, то ранг =1). Повторяем эту процедуру до тех пор пока на этом шаге r Mr r+1 Mr+1=0.

2)Приведение матрицы к ступенчатому виду: этот метод основан на элементарных преобразованиях. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:

-перестановка двух строк (столбцов).

-Умножение всех элементов некоторого столбца (строки) на число не =0.

- прибавление ко всем элементам некоторого столбцы (строки) элементов другого столбца (строки), предварительно умноженных на одно и тоже число.

7 Вопрос.

Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.

Базисным минором матрицы А называется минор наибольшего к-го порядка отличного от 0.

Теорема о базисном миноре:

Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы А являются линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Замечания: Строки и столбцы на пересечении которых стоит базисный минор называются соответственно базисными строками и столбцами.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

. . . . . . . . . . . . . . . = 0

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя:

Для того чтобы определитель n-го порядка =0, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

8 Вопрос.

Системы линейных уравнений, их классификация и формы записи. Правило Крамера.

Решением системы алгебраических уравнений называется такая совокупность n чисел C1,C2,C3……Cn, которая при подстановки в исходную систему на место x1,x2,x3…..xn обращает все уравнения системы в тождества.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет бесчисленно много решений.

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.