12 Вопрос.
Общее решение неоднородной системы.
Сон (общ. неоднор.) = Соо +Сч (частное)
АХ=В (неоднородная система) ; АХ= 0
(АСоо) +АСч = АСч = В, т.к. (АСоо) = 0
Сон= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Сч
Метод Гаусса.
Это метод последовательных исключений неизвестных (переменных) – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований, исходная система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находят все остальные переменные.
Пусть а≠0 (если это не так, то перестановкой уравнений добиваются этого).
1)исключаем переменную х1 из второго, третьего…n-ого уравнения, умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные результаты ко 2-ому, 3-ему…n-ому уравнению, тогда получаем:
Получаем систему равносильную исходной.
2)исключаем переменную х2
3) исключаем переменную х3 и т.д.
Продолжая процесс последовательного исключения переменных х4;х5...хr-1 получим для (r-1)-ого шага.
r- ранг.
Число ноль последних n-r в уравнениях означают, что их левая часть имеет вид: 0х1 +0х2+..+0хn
Если хотя бы одно из чисел вr+1, вr+2… не равны нулю, то соответственное равенство противоречиво и система (1) не совместна. Таким образом, для всякой совместной системы эта вr+1 … вm равна нулю.
Последнее n-r уравнение в системе (1;r-1) являются тождествами и их можно не принимать во внимание.
Возможны два случая:
а)число уравнений системы (1;r-1) равно числу неизвестных, т.е. r=n (в этом случае система имеет треугольный вид).
б)r<n, в этом случае система (1;r-1) имеет ступенчатый вид.
Переход от системы (1) к равносильной ей системе (1;r-1) называется прямым ходом метода Гаусса.
О нахождение переменной из системы (1;r-1) – обратным ходом метода Гаусса.
Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя их не с уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов.
13 Вопрос.
Подобные матрицы.
Будем рассматривать только квадратные матрицы порядка n/
Матрица А называется подобной матрице В (А~В), если существует такая неособенная матрица S, что А=S-1BS.
Свойства подобных матриц.
1)Матрица А подобна сама себе. (А~А)
Если S=Е, тогда ЕАЕ=Е-1АЕ=А
2)Если А~В, то В~А
Если А=S-1ВS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B
3)Если А~В и одновременно В~С, то А~С
Дано, что А=S1-1BS1, и В=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, где S3 = S2S1
4)Определители подобных матриц равны.
Дано, что А~В, надо доказать, что detA=detB.
A=S-1 BS , detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (сокращаем) = detB.
5)Ранги подобных матриц совпадают.
Собственные векторы и собственные значения матриц.
Число λ называется собственным значением матрицы А, если существует ненулевой вектор Х(матр. столбец) такой, что АХ= λ Х, вектор Х называется собственным вектором матрицы А, а совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы А.
Свойства собственных векторов.
1)При умножении собственного вектора на число получим собственный вектор с тем же собственным значением.
АХ= λ Х ; Х≠0
α Х => А(α Х) = α (АХ) = α(λ Х) = = λ (αХ)
2) Собственные векторы с попарно-различными собственными значениями линейно независимы λ1, λ2,.. λк .
λ1 –х1
λ2 – х2
……
Λк - хк
Пусть система состоит из 1-ого вектора, сделаем индуктивный шаг:
С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn = 0 (1) – умножаем на А.
С1 АХ1 +С2 АХ2 + .. +Сn АХn = 0
С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0
Умножаем на λn+1 и вычтем
С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn+ Сn+1 Хn+1 = 0
С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0
C1 (λ1 –λn+1 )X1 + C2 (λ2 –λn+1 )X2 +.. + Cn (λn –λn+1 )Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1 )Xn+1 = 0
C1 (λ1 –λn+1 )X1 + C2 (λ2 –λn+1 )X2 +.. + Cn (λn –λn+1 )Xn = 0
Надо чтобы С1 =С2 =… = Сn = 0
Сn+1 Хn+1 λn+1 =0
Характеристическое уравнение.
А-λЕ называется характеристической матрицей для матрицы А.
Теорема.
Для того, чтобы ненулевой вектор Х был собственным вектором матрицы А, соответствующий собственному значению λ необходимо чтобы он являлся решением однородной системы линейно-алгебраических уравнений (А- λЕ)Х = 0
Нетривиальное решение система имеет тогда, когда det (А- XЕ) = 0 - это характеристическое уравнение.
Утверждение!
Характеристические уравнения подобных матриц совпадают.
det(S-1AS – λЕ) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λЕ)S) = det S-1 det(A – λЕ) detS= det(A – λЕ)
Характеристический многочлен.
det(A – λЕ)- функция относительно параметра λ
det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA
Этот многочлен и называется характеристическим многочленом матрицы А.
Следствие:
1)Если матрицы А~В, то сумма их диагональных элементов совпадает.
a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn
2)Множество собственных значений подобных матриц совпадают.
А~В
λi i=1,2..n
Если характеристические уравнения матриц совпадают, то они необязательно подобны.
Для матрицы А
Для матрицы В
(1-λ)2= 0