Интегралы движения: свойства симметрии:
1)Однородность времени - равенство всех моментов времени для замкнутой консервативной системы или для движения в поле постоянного потенциала.
Оператор Гамильтона явно не зависит от времени и коммутирует сам с собой. Интегралом движения является среднее значение энергии системы <E> = const. Законом сохранения является ЗСЭ.
Процессы, которые могут несильно нарушать ЗСЭ системы, в которой <E> = const, называются виртуальными.
2)Однородность пространства – эквивалентность всех точек пространства по отношению к параллельному переносу нашей системы.
Оператором интифизоминальных перемещений
является оператор: 
.
- линейный оператор явно не зависящий
от времени и коммутирующий с оператором
Гамильтона только в случае симметрии
пространства-времени и оператора Н в
этом пространсве.
Интегралом движения является <p>, а ЗС является ЗСИ.
3) Изотропия пространства – равноправие всех направлений в пространстве для всех физических законов. Т.о. осуществляется не только параллельный перенос, но и поворот. Вектор поворота совпадает по направлению с осью поворота, а положительный поворот поисходит, если смотреть с острия вектора против, против часовой стрелки.
Оператор интифизоминального поворота:
Он явно не зависит от времени и коммутирует с Н, т.к. пространство изотропно.
Интегралом движения является <L>. А законом сохранения ЗС момента импульса.
Изотропия времени не применима, потому что не симметрично временное уравнение Шредингера при подстановке t и –t.
4) Инверсия – физические явления не изменяются при применении инверсии.
Дискретными называются преобразования, которые можно сделать только полностью.
Введем оператор инверсии:
.
Уравнение на собственные значения 
:
.
Получим, что 
= +-1. Тогда :
- состояние четности.
- состояние нечетности.
Этот оператор явно не зависит от времени и коммутирует с Н.
Интегралом движения является четность – интеграл движения, соответсвующий дискретным преобразованиям системы.
Если система реализует два состояния четность и нечетность, то она реализует еще одно состояние, которое является суперпозицией первых двух. Это состояние с неопределенной четностью.
ЗС является закон сохранения Четности.
свойства стационарных состояний.
1. Временная зависимость волновой функции
стационарного состояния полностью
определяется энергией состояния и имеет
вид
2. Плотность вероятности и плотность
тока вероятности в стационарных
состояниях не зависит от времени. 3.
Среднее значение физической величины,
оператор которой явно не зависит от
времени, в стационарных состояниях само
не зависит от времени. 4. Вероятность
обнаружения определенного значения
любой физической величины в стационарном
состоянии не зависит от времени.
Теорема Эренфеста:
Проблема поиска простых классических уравнений для решения квантового случая называется реализацией.
Запишем канонические уравнения:
Запишем
,
тогда
.
В гилбертовом пространстве, чтобы измерить физические величины, нужно найти их средние значения:
Т.к. x не зависит явно от
t получаем
.
Оператор импульса более сложный, чем оператор координат.
Сами канонические координаты и импульсы несимметричны.
Координаты и импульсы входят в оператор Гамильтона несимметрично.
Поэтому нельзя обобщить каноническое
уравнение импульса на квантовый случай.
Оно получается таким:
.
теорема Эренфеста: для обобщения уравнений механики на квантовый случай необходимо входящие в классические уравнения динамические величины заменить на средние значения соответствующих операторов.
Тогда из теоремы получим, что
,
где F –это из классического
закона
.
Динамические величины – это физические величины, которые мы можем измерить.