Линейные операторы

Основная статья: Линейное отображение

Оператор L (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:

может применяться почленно к сумме аргументов:

L(x₁ + x₂) = L(x₁) + L(x₂);

скаляр (постоянную величину) c можно выносить за знак оператора:

L(cx) = cL(x);

Из 2) следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство L(0) = 0.

Оператор L называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:

L{x} = L₀{x} + φ,

где L₀ — линейный однородный оператор.

В случае линейного преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) новые значения функций y_k являются линейными функциями от старых значений x_k:

.

В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных  , и называется ядром линейного интегрального преобразования:

Функция-операнд f(ω) в данном случае называется спектральной функцией. Спектр может быть и дискретным, тогда f(ω) заменяется вектором W. В этом случае φ(t) представимо конечным или бесконечным рядом функций:

  Матрица линейного оператора   в базисе ( ) - матрица

столбцами которой являются столбцы образов базисных векторов   оператора f, т. е. 

     Линейный оператор называется невырожденным, если 

Характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные

векторы линейного оператора и их свойства.

Если в базисе

линейный оператор имеет матрицу А, а в базисе (

) оператор имеет матрицу В

λ – произвольное число ≠0

Е – единичная матрица

Если

характеристически многочлен линейного оператора прировнять к 0, получим

характеристическое уравнение линейного оператора.

Собственные векторы линейного оператора

Ненулевой вектор

называется собственным вектором линейного оператора, если

оператор к , получим

этот же ,

умноженный на некоторое к.

к – собственное число оператора А=

Каждый собственный вектор имеет единственное собственное число.

Предел последовательности

В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.

Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что последовательность {xn−a}является бесконечно малой.  Если последовательность {xn→a} является сходящейся и имеет своим пределом число a, то символически это записывают так:limn→∞xn=a или xn→a при n→∞

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1.          Сходящаяся последовательность имеет только один предел;

2.          Сходящаяся последовательность ограничена;

3.          Если  , то  ;

4.          При любых постоянных   и    ;

5.           ;

6.          Если  ,   и  , то  ;

7.          Если  , то  ;

8.          Если   и  , то  ;

9.          Если  , то  .

Бесконечно большая последовательность

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при   все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству   .

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, ... 1, n, ... не является бесконечно большой, так как при A > 1 неравенство   не выполняется для x_n с нечетными номерами.

Бесконечно малая последовательность

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечные малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при   все элементыx_n этой последовательности удовлетворяют неравенству   .

Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Приведение квадратичных форм к каноническому виду

            Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂

y₂ = a₁₂x₁ + a₂₂x₂

где у₁ и у₂ – координаты вектора  в базисе .

            Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х₁, х₂) = х₁у₁ + х₂у₂.

 

            Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х₁ и х₂ – скалярное произведение .

            Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

            Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

            При переходе к новому базису от переменных х₁ и х₂ мы переходим к переменным  и . Тогда:

 

            Тогда .

Выражение  называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Определение. Последовательность {x_n} не убывает (не возрастает), если   для  .

Определение. Последовательность {x_n} возрастает (убывает), если x_{n + 1} > x_n(x_{n + 1} < x_n) для  .

Определение. Строго возрастающая или строго убывающая последовательность называется монотонной последовательностью.

Теорема. Если {x_n} - не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если {x_n} - не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.

Доказательство. При выполнении условия теоремы последовательность x_n ограниченна.

В силу ограниченности  , 

1) Если последовательность не убывает, то 

2) Если последовательность не возрастает, то 

Рассмотрим первый случай.

По определению sup  : 

Т.к. {x_n} не убывает, то при 

 при 

 при  .

Расширенный вариант первой формулировки

Нередко теорему Больцано — Вейерштрасса дополняют следующим предложением.

Если последовательность точек пространства   неограничена, то из нее можно выделить подпоследовательность, имеющую предел  .

Для случая n = 1 эту формулировку можно уточнить: из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую пределом бесконечность определенного знака (  или  ).

Таким образом, всякая числовая последовательность содержит подпоследовательность, имеющую предел в расширенном множестве действительных чисел  .

Предел функции в точке

f’(x)=lim(x → 0) f(x+ x)-f(x)/ xПределы суммы, произведения и частного двух функций