Вид преобразований при коллинеарных осях

Если ИСО S движется относительно ИСО S' с постоянной скоростью вдоль оси , а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:

или, используя векторные обозначения,

(последняя формула остается верной для любого направления осей координат).

• Как видим, это просто формулы для сдвига начала координат, линейно зависящего от времени (подразумеваемого одинаковым для всех систем отсчета).

Из этих преобразований следуют соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах отсчета:

• Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для малых скоростей (много меньше скорости света).

Формула преобразования скоростей

Достаточно продифференцировать в формуле преобразований Галилея, приведенной выше, и сразу же получится приведенная в том же параграфе рядом формула преобразования скорости.

Приведем более элементарный, но и более общий вывод — для случая произвольного движения начала отсчета одной системы относительно другой (при отсутствии вращения). Для такого более общего случая, можно получить формулу преобразования скоростей, например, так.

Рассмотрим преобразование произвольного сдвига начала отсчета на вектор ,

где радиус-вектор какого-то тела A в системе отсчета K обозначим за , а в системе отсчета K' — за ,

подразумевая, как всегда в классической механике, что время t в обеих системах отсчета одно и то же, а все радиус-векторы зависят от этого времени: .

Тогда в любой момент времени

и в частности, учитывая

,

имеем:

где:

— средняя скорость тела A относительно системы K;

— средняя скорость тела А относительно системы K' ;

— средняя скорость системы K' относительно системы K.

Если то средние скорости совпадают с мгновенными:

или короче

— как для средних, так и для мгновенных скоростей (формула сложения скоростей).

Таким образом, скорость тела относительно неподвижной системы координат равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы координат и скорости системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета. Аналогично можно получить формулу преобразования ускорений при переходе из одной системы координат в другую, верную при условии, что эти системы движутся поступательно друг относительно друга:

Инвариантные и неинвариантные величины

Величины, значение которых не меняется от перехода из одной системы отсчета в другой, называется инвариантные. Длина является инвариантной относительно преобразования Галилея. Скорость – неинвариантная. Скорость в неподвижной системе отсчета равна сумме относительной и переносной скоростей:

При переходе из одной системы отсчета в другую ускорение не меняется. Ускорение – инвариантно: .

Поскольку силы, рассматриваемые в механике, связаны с расстоянием, а расстояние является инвариантное, то и сила является инвариантная:

Поскольку как в подвижных и неподвижных системах отсчета уравнения движения будут одинаковые. Это означает, что рассматриваемые в механике инерциальные системы отсчета равноправны. Данное утверждение легло в основу механического принципа относительности, который называют принципом относительности Галилея.

Никакими механическими опытами произведенными внутри инерциальной системы отсчета, нельзя установить движется эта система отсчета или покоится.

Импульс при переходе из одной системы отсчета в другую зависит от скорости и меняется. Следовательно, импульс неинвариантный. Закон сохранения импульса выполняется в обоих системах отсчета.

Кинетаическая Энергия – неинвариантная. Потенциальная энергия – инвариантная. Закон сохранения энергии – неинвариантный (выполняется в обоих системах отсчета). Работа – инвариантная.

Если при переходе из одной системы отсчета к другой, вид некоторого уравнения не меняется, а значение величины изменяется, то говорят что уравнение ковареантно относительно преобразованиям Галилея.

Ответ №5

Графики зависимостей пути и перемещения от времени.

Ответ №6

Простейшим случаем криволинейного движения является равномерное движение по окружности – движение с постоянной по модулю скоростью и траекторией, представляющей собой дугу окружности.

Угловое перемещение вращающегося тела - это угол поворота радиус-вектора любой точки данного вращающегося тела.

Угловая скорость, величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси численно его У. с. w =Dj/ Dt, где Dj — приращение угла поворота j за промежуток времени Dt. В общем случае У. с. численно равна отношению элементарного угла поворота Dj к соответствующему элементарному промежутку времени dt, то есть w= dj/dt. Вектор У. с. w направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда поворот тела виден происходящим против хода часовой стрелки (в правой системе координат). Размерность У. с. T ^-1.

Угловое ускорение, величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси, когда его угловая скорость w растет (или убывает) равномерно, численно У. у. e = Dw/Dt, где Dw — приращение, которое получает w за промежуток времени Dt, а в общем случае при вращении вокруг неподвижной оси e = dw/dt = d ²j/dt², где j — угол поворота тела. Вектор У. у. eнаправлен вдоль оси вращения (в сторону w при ускоренном вращении и противоположно w — при замедленном). При вращении вокруг неподвижной точки вектор У. у. определяется как первая производная от вектора угловой скорости w по времени, т. е. e = dw/dt, и направлен по касательной к годографу вектора w в соответствующей его точке. Размерность У. у. Т^-2