2. Передаточные функции, прямые и обратные l-преобразования Лапласа, интеграл Лапласа, дифференциальное уравнение элемента регулирующей системы.

Дифференциальное уравнение (ДУ) элемента регулирующей системы связывает выходные величины с входными величинами и в общем случае имеет вид:

(2.1)

где – выходная величина элемента (в отклонениях от состояния равновесия);

– входная величина элемента (в отклонениях от состояния равновесия);

– постоянные коэффициенты, определяемые конструктивными особенностями и параметрами настройки элемента.

Если в уравнении (2.1) вместо функций времени и ввести функции и комплексного переменного

(2.2)

То оказывается, что диф уравнение, содержащее функции и при нулевых начальных условиях (при ) равносильно линейному алгебраическому уравнению (2.3)

Такой переход от дифференциального уравнения к однозначно соответствующей алгебраической форме называется преобразованием Лапласа. Функция называется изображением функции , функция называется оригиналом функции .

Операция перехода от искомой функции к ее изображению (нахождение изображение от оригинала) называется прямым преобразованием Лапласа. Математически прямое преобразование Лапласа записывается условно с помощью символа как

Операция перехода от изображения к искомой функции (нахождение оригинала от изображения) называется обратным преобразованием Лапласа. Математически обратное преобразование Лапласа записывается с помощью символа как

Формальный переход от дифференциального уравнения к алгебраическому при нулевых начальных условиях получается путем замены символов дифференцирования оригиналов функций соответственно и функций – их изображениями . С комплексной переменной , как и с другими членами алгебраического уравнения, можно производить различные действия: умножение, деление, вынесение за скобки и т.д.

Вынося в уравнении (2.3) за скобки и , получим:

(2.4)

Определим из уравнения (2.4) отношение изображения выходной величины к изображению входной:

(2.5)

Отношение изображения выходной величины элемента системы к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называют передаточной функцией элемента системы.

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной : , (2.6)

Из уравнения (2.5) следует, что передаточная функция элемента системы и изображение его входной величины определяют изображение выходной величины:

. (2.7)

Данное выражение есть реакция элемента системы на входное воздействие, эта реакция всецело зависит от передаточной функции, т.е. от динамических свойств элемент системы (звена). Предполагается, что входное воздействие известно – синусоидальное, единичное или импульсное.

3. Типовые звенья и их передаточные функции. Усилительное звено. Ду, передаточная и переходная характеристики.

Разбиение систем регулирования на звенья существенно упрощает их исследование, расчет и конструирование. Звенья – это элементарные ячейки, из которых строится система, и динамические свойства которых определяют поведение системы в целом.

Общим свойством всех звеньев систем регулирования является однонаправленность их действия, т.е. сигнал в любом звене проходит только от входа к выходу и, следовательно, выход звена не оказывает никакого воздействия на его вход. Вход каждого последующего звена является выходом предыдущего.

Звенья систем регулирования могут иметь самую разнообразную физическую основу (электрическую, механическую, гидравлическую и т.д.) и конструктивное исполнение, но при этом относится к одной функциональной группе. Соотношение входного и выходного сигналов в звеньях одной и той же функциональной группы описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями. Это свидетельствует о том, что такие звенья имеют одинаковые динамические свойства.

Усилительное звено- это звено не только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим уравнением (2.8)

К оэффициент пропорциональности называется коэффициентом усиления или коэффициентом передачи звена. Уравнение (2.8) свидетельствует о том, усилительное звено передает сигнал мгновенно без динамических переходных процессов и искажений. Характер изменения во времени выходной величины усилительного звена при подаче на его вход постоянной входной величины представлен на рис. 2.3.

Передаточная функция звена с учетом выражения (2.3) имеет вид:

(2.9)

Примером такого звена являются механический редуктор (без учета явления скручивания и люфта), безынерционный (широкополосный) усилитель, делитель напряжения и т.п. Переходная функция такого звена представляет собой ступенчатую функцию, т.е. при . Функция веса представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна , т.е. при .

АФХ вырождается в точку, расположенную на вещественной оси на расстоянии от начало координат. Модуль частотной передаточной функции постоянен на всех частотах, а фазовые сдвиги равны нулю ( ).

Безынерционное звено является идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от до .