Раздел 3. Технические средства информационных технологий Лекция № 7. Представление чисел в эвм

1. Способы представления чисел.

2. Форматы представления чисел с фиксированной и плавающей

запятой.

Литература: 1. Основы вычислительной техники и программирование:

Учебник / Под ред. Ю.А.Бузунова.- М.: Воениздат, 1981.

2.Вычислительные машины, системы и сети: Учебник /

А.П.Пятибратов, С.Н.Беляев и др.; Под ред. проф. А.П.Пя-

тибратова. – М.: Финансы и статистика, 1991.

1 Способы представления чисел

В ЭВМ, обычно, используются только положительные числа. Это позволяет существенно упростить схемную реализацию арифметическо-логического устройства (АЛУ). Однако при этом возникает проблема кодирования от­рицательных чисел.

В обычной практике, т. е. при ручном счете, на бумаге положительным числам приписывается знак « + », а отрица­тельным – знак « – ». В вычислительной технике для этих целей в разрядную сетку ЭВМ вво­дится специальный знаковый разряд, который занимает место перед числовыми разрядами (крайний слева). При этом для кодиро­вания знака «плюс» в знаковый разряд помещается цифра «0», а знака «минус» – цифра «1». Знаковый разряд от числовых при за­писи числа на бумаге будем отделять точкой.

Таким образом, любое двоичное число может быть представлено в следующем виде:

Такое представление двоичного числа называется прямым кодом этого числа и обозначается [Х] _ПК.

При условии, что | Х | < 1 (т. е. если кодируются только правильные дроби), прямой код числа можно представить следующим образом

Таким образом, положительная правильная дробь может приобретать значения в диапазоне от 0 до 1, а отрицательная – в диапазоне от 1 до 2. На рисунке 1 показана числовая прямая, на которой отображены диапазоны положительных и отрицательных чисел, используемых в ЭВМ в прямого коде, для случая, когда двоичные числа представляются в виде правильных дробей.

Рисунок 1 – Перенос отрицательного числа в область

положительных чисел

Пример.

Представить числа А₍₁₀₎ = 5 и В₍₁₀₎ = -11 в прямом двоичном коде:

А₍₂₎ = 101, [А]_ПК = 0. 101;

В₍₂₎ = - 1011, [В]_ПК = 1. 1011.

В памяти вычислительной машины положительные и отрицательные числа хранятся в прямом коде. В этом же коде выполняется сложение положительных чисел, перемножение модулей чисел и некоторые другие операции. Однако использование прямого кода для вычитания и деления двух чисел требует применения специальных устройств, что существенно усложняет АЛУ. С целью упрощения реализации арифметических операций, для алгебраического представления чисел (то есть для представления чисел с учетом их знака) применяют специальные коды. За счет этого облегчается определение знака результата операции, а операция вычитания числа заменяется на операцию сложения.

Такими специальными кодами являются обратный код числа и дополнительный код числа.

Примечание: Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют одинаковую форму записи.

Переход от прямого кода к обратному для отрицательных чисел выполняется по правилу:

Чтобы представить отрицательное двоичное число в обратном коде, нужно оставить в знаковом разряде 1, а во всех значащих разрядах заменить 1 на 0, а 0 на 1. Такая операция называется инвертированием.

Это же правило справедливо и при переводе отрицательных чисел из обратного кода в прямой.

Пример:

Найти обратный код числа А = - 10110,1011.

А = - 10110,1011.

[A]_ПК = 1.10110,1011,

[А]_ОК = 1.01001,0100.

Пример:

Найти прямой код числа [A]_ОК = 1.1011,011.

[A]_ОК = 1.1011,011,

[А]_ПК = 1.0100,100.

Примечание: В обратном коде отрицательного числа нули, записанные в конце числа (после запятой) и в начале числа (после единицы, отде­ленной точкой), отбрасывать нельзя.

Переход от прямого кода к дополнительному для отрицательных чисел может быть выполнен двумя способами:

Правило 1. Чтобы перевести отрицательное число из прямого кода в до­полнительный, необходимо сначала получить обратный код этого числа, а затем прибавить единицу к младшему разряду (естественно, с учетом переносов между разрядами).

Это же правило справедливо и при переводе отрицательных чисел из дополнительного кода в прямой, то есть прямой код отрицательного числа получают путем об­разования дополнительного кода от дополнительного (получают об­ратный код числа и к нему прибавляют единицу младшего разряда).

Правило 2. Чтобы перевести отрицательное число из прямого кода в до­полнительный, необходимо оставить в знаковом разряде 1, а во всех значащих разрядах (слева направо) заменить 1 на 0, а 0 на 1, за исключением последней единицы и следующих за ней нулей.

Пример:

Перевести число А = - 11,011 в дополнительный код.

[А]_ПК = 1.11,011, [А]_ОК = 1.00,100

+ 1

[А]_ДК = 1.00,101

Пример:

Перевести число А = - 100 11,101 в дополнительный код.

[А]_ПК = 1.100 11,101

[А]_ДК = 1. 01100,011

Пример: Перевести число А = 1.11011,101 из дополнительного кода в

прямой.

[А]_ДК = 1.11011,101

[А]_ПК = 1.00100,011