Методические указания к лабораторным работам 1-2

ТЕМА :”ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.”

1. Численные методы одномерной оптимизации.

1. 1 М етод половинного деления.

Метод половинного деления состоит в том, что мы уменьшаем длину отрезка так, что минимум остается внутри отрезка; процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной точности. Уменьшение длины отрезка производится выбором двух точек x1,x2, расположенных симметрично относительно середины отрезка и сравнением значений функции в этих точках:

Возможны три случая, приводящие к сужению длины отрезка:

1.Случай

f(x1)>f(x2)

в промежутке [a,x1] функция убывает, значит минимума нет,

поэтому новый уменьшенный отрезок [x1,b] т.е.

a:=x1

2. Случай

f(x1)<f(x2)

в промежутке [x2,b] функция возрастает, значит минимума нет,

поэтому новый уменьшенный отрезок [a,x2] т.е.

b:=x2

3. Случай

f(x1)=f(x2)

минимум внутри отрезка [x1,x2], поэтому новый уменьшенный

отрезок [x1,x2] т.е. a:=x1, b:=x2

Алгоритм метода деления пополам:

1)

2)

3)

Продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше ε.

Пример 1.1

Найти минимум функции, используя метод половинного деления:

f(x)= 7*x⁴-5*x³-9*x²+15*x+3.

Первый этап решения задачи состоит в нахождении начального интервала неопределенности, на котором функция f(X) унимодальна. С помощью EXCEL это легко сделать, протабулировав функцию f(X) в некоторых пределах, например, от -3 до 5 с шагом 1.

Лист MS Excel:

1.2 Метод дихотомии.

Даны: а) формула целевой функции f(х),

б) численные значения а - левой границы и b - правой границы начального интервала неопределенности, на котором целевая функция унимодальна,

в) численное значение Е - точности нахождения значения х, при котором f(х) принимает минимальное значение на [a,b].

Сущность метода состоит в том, что выбираются значения х₁ и х₂ так, чтобы они были как можно ближе к середине интервала неопределенности с=(a+b)/2. Обычно х₁ = с-r и х₂ = c+r, где r = E/3 или E/4 в зависимости от точности вычислений.

Таким образом, на каждой итерации отбрасывается отрезок длиной (c-r). Через К итераций начальный интервал неопределенности уменьшится до длины

d = (b-a)/2^K + r(2^K - 1)/2^(K-1) .

Итерации прекращаются, если d <= E.

Алгоритм метода дихотомии состоит в следующем.

1) для заданных значений a и b вычисляются с=(a+b)/2, х₁ = c-E/3 и х₂=c+E/3,

2) вычисляются значения f(х₁) и f(х₂) и сравниваются между собой,

3) если f(х₁) > f(х₂), то а= х₁, иначе b= х₂,

4) если длина нового интервала d=(b-a) <=E, то в качестве решения можно взять любое значение х, лежащее внутри этого интервала; в противном случае выполняется новая итерация.

Пример 2.

Пусть надо найти минимум функции f(X) = 2х² + e^-х.

По правилам EXCEL эта функция должна быть записана так =2*х^2 + EXP(-х), где вместо х нужно подставить адрес ячейки.

Зададим Е= 0,0001.

Первый этап решения задачи состоит в нахождении начального интервала неопределенности, на котором функция f(х) унимодальна. Протабулируем функцию f(х) в пределах, например, от -1 до 1 с шагом 0,2.

Как видно из таблицы, интервал неопределенности можно выбрать между а=0 и b=1.

Для изменения значений a и b используем функцию ЕСЛИ Мастера Функций. Приведем таблицу формул в соответствующих ячейках для первых двух итераций в строках 24 и 25. Формулы для остальных строк блока копируются из 25 строки.

Адрес	Формула
A24	0
B24	1
C24	=(A24+B24)/2-0,0001/3
D24	=(A24+B24)/2+0,0001/3
E24	=2*C24^2+EXP(-C24)
F24	=2*D24^2+EXP(-D24)
G24	=B24-A24
A25	=ЕСЛИ(E24>F24; C24; A24)
B25	=ЕСЛИ(E24<F24; D24; B24)
C25	=(A25+B25)/2-0,0001/3
D25	=(A25+B25)/2+0,0001/3
E25	=2*C25^2+EXP(-C25)
F25	=2*D25^2+EXP(-D25)
G25	=B25-A25

Для построения диаграммы, иллюстрирующей изменения концов интервала неопределенности, следует выделить блок А23:В37 и воспользоваться Мастером Диаграмм, выбрав тип График и формат 1.