- •Раздел 3. Технические средства информационных технологий Лекция № 6. Информационные основы построения эвм
- •Общие сведения о системах счисления.
- •Общие сведения о системах счисления
- •1.2 Позиционные системы счисления
- •1.3 Системы счисления, применяемые в эвм
- •2 Методы перевода чисел
- •Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную
- •2.3 Перевод чисел в системах счисления с кратными основаниями
- •3 Представление информации в цифровых автоматах
Раздел 3. Технические средства информационных технологий Лекция № 6. Информационные основы построения эвм
Общие сведения о системах счисления. Позиционные системы счисления.
Методы перевода чисел.
Представление информации в цифровых автоматах.
Литература: 1. Острейковский В.А. Информатика: Учеб. для вузов. –
М.: Высш. шк., 1999.
2. Основы вычислительной техники и программирование:
Учебник / Под ред. Ю.А.Бузунова.- М.: Воениздат, 1981.
Общие сведения о системах счисления.
Позиционные системы счисления
Общие сведения о системах счисления
Системой счисления называют совокупность приемов построения, обозначения и наименования чисел. Каждая система счисления включает:
1) определенный набор символов (цифр) для изображения чисел; эти символы называются базисными числами и составляют конечный алфавит
{x1, x2, …, xn},
2) определенный способ чтения (наименования) чисел.
Например:
в десятичной системе счисления алфавит состоит из десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, …, 9;
в двоичной – из двух цифр: 0, 1;
в римской системе счисления – из семи цифр:
1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, которые обозначаются, соответственно, знаками: I, V, X, L, C, D, M;
Каждой цифре в записи числа однозначно сопоставляется количество, выражаемое этой цифрой. Это количество будем называть количественным эквивалентом цифры. Если xi – цифра, записанная в конкретном месте в записи числа, то (xi) – ее количественный эквивалент.
По способу определения количественного эквивалента цифры в записи числа все системы счисления можно разбить на два класса: непозиционные и позиционные.
Система счисления называется непозиционной, если значение числового знака (каждой цифры) не зависит от его расположения в записи числа.
Классическим примером непозиционной системы счисления является римская система счисления. Исторически вначале появились непозиционные системы счисления. Общим недостатком этих систем счисления является трудность записи в них больших чисел: либо эти записи слишком громоздки, либо алфавит цифр весьма велик. Именно поэтому непозиционные системы счисления в вычислительной технике не нашли применения.
1.2 Позиционные системы счисления
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент каждой цифры определяется не только видом символа, ее изображающего, но и ее положением в записи числа. При этом место цифры в записи числа называется разрядом.
Классическим примером позиционной системы счисления является десятичная система счисления.
В таблице 1 приведены примеры некоторых, наиболее часто употребляемых, позиционных систем счисления.
Таблица 1
Основание |
Система счисления |
Знаки |
2 8 10 16 |
Двоичная Восьмеричная Десятичная Шестнадцатеричная |
0, 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F |
Одним из основных понятий в позиционных системах счисления является вес разряда. Весом j-го разряда для позиционной системы счисления называется отношение количественного эквивалента цифры xi, стоящей в j-м разряде, к количественному эквиваленту той же цифры, стоящей в нулевом разряде:
Число, указывающее сколько единиц младшего разряда содержится в единице старшего разряда, называется основанием позиционной системы счисления.
Существует связь между основанием системы счисления и числом цифр, используемых в системе счисления (это видно из таблицы 1): для представления любого числа конечным числом разрядов в системе счисления с основанием K достаточно иметь K цифр. Обычно эти K цифр составляют отрезок натурального ряда целых положительных чисел, включая 0. Таким образом, алфавит K-ичной системы счисления имеет вид {0, 1, 2, ..., K-1}.
Любое число Х в К-ичной позиционной системе счисления можно представить в виде полинома от основания К:
Х(К) = xn-1Kn-1 + xn-2Kn-2 + … + x1K + x0K0 + x-1K-1 + x-2K-2 + … + x-mK-m =
= (1)
где xi – значение цифры в i – ом разряде;
Ki – основание системы счисления;
n, m – число разрядов в целой и дробной части числа, соответственно;
i – порядковый номер разряда.
Основание системы счисления обычно указывают (при необходимости) в виде десятичного индекса справа в нижней части числа.
Примеры:
23,43 (10) = 2101 + 3100 + 410-1 + 310-2
(в данном примере знак «3» в одном случае означает число единиц, а в другом - число сотых долей единицы);
451,2 (8) = 482 + 581 + 180 + 28-1.
Краткая запись числа представляется последовательностью цифр, каждой из которых можно поставить в соответствие определенную позицию. Обычно позиции, предназначенные для представления целой части числа, отделяют от позиций, предназначенных для представления дробной части числа – запятой:
Х(К) = xn-1 xn-2 … x1 x0, x-1 x-2 … x-m.
Запятая сама позиции не занимает, а является началом отсчета номера позиции: все позиции влево от запятой, предназначенные для хранения целой части числа, нумеруются в порядке возрастания натурального ряда чисел 0, 1, 2, ..., п-1, а все позиции вправо от запятой, предназначенные для хранения дробной части числа, нумеруются целыми отрицательными числами - 1, - 2, ...., - т. Таким образом, позиция цифры с присвоенным ей номером называется разрядом числа.
На рисунке 1 показана нумерация разрядов в разрядной сетке ЭВМ, включающей п разрядов для представления целой и т разрядов – для представления дробной части числа. Под разрядной сеткой ЭВМ понимают общее число разрядов, отводимое для представления как целой, так и дробной части числа в цифровой вычислительной машине.
n - 1 |
n - 2 |
… |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
… |
-m |
Рисунок 1 - Нумерация разрядов в разрядной сетке ЭВМ