Первое начало термодинамики.

Первый закон (первое начало) термодинамики можно сформулировать так:

«Изменение полной энергии системы в квазистатическом процессе равно количеству теплоты Q, сообщенного системе, в сумме с изменением энергии, связанной с количеством вещества N при химическом потенциале μ, и работы A', совершённой над системой внешними силами и полями, за вычетом работы А, совершённой самой системой против внешних сил» :

ΔU = Q − A + μΔN + A'.

Для элементарного количества теплоты δQ, элементарной работы δA и малого приращения (полного дифференциала) dU внутренней энергии первый закон термодинамики имеет вид:

dU = δQ − δA + μdN + δA'.

Разделение работы на две части, одна из которых описывает работу, совершённую над системой, а вторая – работу, совершённую самой системой, подчёркивает, что эти работы могут быть совершены силами разной природы вследствие разных источников сил.

Важно заметить, что dU и dN являются полными дифференциалами, а δA и δQ - нет. Приращение теплоты часто выражают через температуру и приращение энтропии: δQ = TdS.

Случаи Править

Рассмотрим несколько случаев:

1. Если δQ > 0, то это означает, что тепло к системе подводится.

2. Если δQ < 0, аналогично — тепло отводится.

3. Если δQ = 0, то систему называют адиабатически изолированной.

Обобщая: в конечном процессе 1→2 элементарные количества теплоты могут быть любого знака. Общее количество теплоты, которое мы назвали просто Q — это алгебраическая сумма количеств теплоты, сообщаемых на всех участках этого процесса. В ходе процесса теплота может поступать в систему или уходить из неё разными способами.

При отсутствии работы над системой и потоков энергии-вещества, когда δA' = 0, δQ = 0, dN = 0, выполнение системой работы δA приводит к тому, что ΔU < 0, и энергия системы U должна убывать. Из ограниченности энергии U как раз и следует невозможность двигателя первого рода, выполняющего бесконечную работу за счёт собственной энергии

Уравнение состояние идеального газа

Состояния данной массы газа характеризуется тремя макроскопическими параметрами: давлением, объемом, температурой. В данной главе рассмотрим между ними связь, а затем посмотрим, для чего эта связь нужна.

Уравнение состояния идеального газа – называется такое уравнение, которое связывает три макроскопических параметра давление P, объем V и температуру T, для достаточно разряженного газа.

Выведем уравнение состояния идеального газа. Для этого подставим в уравнение:

(1)

выражение для концентрации молекул газа , концентрацию газа можно записать так:

(2)

где -постоянная Авогадро, m – масса газа, M – его молярная масса.

После подстановки (2) в (1) будем иметь

(3)

где k – постоянная Больцмана. Произведение постоянной Больцмана k и постоянной Авогадро называется универсальной (молярной) газовой постоянной и обозначается буквой R.

Подставим универсальную газовую постоянную в уравнение (3), получим уравнение состояния для произвольной массы идеального газа:

(4)

Единственная величина в этом уравнении (4), зависящая от рода газа, это его молярная масса.

Уравнение (4) называется уравнение состояния идеального газа или уравнение Менделеева – Клапейрона.

Из уравнения состояния вытекает связь между давлением, объемом и температурой идеального газа, который может находиться в двух любых состояниях.

Если индекс 1 обозначить параметры, относящиеся к первому состоянию, а индекс 2 - параметры, относящиеся ко второму состоянию, то согласно уравнению (4) для газа данной массы:

Правые части этих уравнений одинаковы, следовательно, должны быть равны и их левые части:

(5)

Уравнение состояние в форме (5) называется уравнением Клапейрона и представляет собой одну из форм записи уравнения состояния.

Таким образом, для данной массы газа, как бы ни менялись его давление, объем и температура, произведение давления на объем, деленное на абсолютную температуру, есть величина постоянная.

Вывод основного уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева – Клапейрона)

1. Pассмотрим график зависимости Р от V при изотермическом процессе при температурах Т₁ и Т₂ (так что Т₂ > Т₁). Из графика видно:

при Т₁ V₁ соответствует давлению Р₁,

V₂ соответствует давлению Р₂

В соответствии с видом графика и законом Бойля – Мариотта имеем:

Р₁ V₁ = Р₂ V₂

при Т₂ V₁ соответствует давлению Р₁’,

V₂ соответствует давлению Р₂’

в соответствии с видом графика и законом Бойля – Мариотта имеем:

Р₁’ V₁ = Р₂’ V₂

Сравним значение произведений Р₁ V1 и Р₁’ V₁

Р₁’ > Р₁ Р₁ V₁ < Р₁’ V₁

V₁ = cоnst

Т₂ > Т₁ ═> при увеличении Т возрастает произведение РV следовательно РV ~ Т, то есть, произведение давления на объём данной массы газа прямо пропорционально Т.

2. Рассмотрим график зависимости Р от V при изотермическом процессе для различных значений массы газа m₁ и m₂ (m₁ < m₂).

при m₁ V₁ соответствует давлению Р₁,

V₂ соответствует давлению Р₂

В соответствии с видом графика и законом Бойля – Мариотта имеем:

Р₁ V₁ = Р₂ V₂

при m₂ V₁ соответствует давлению Р₁’,

V₂ соответствует давлению Р₂’

в соответствии с видом графика и законом Бойля – Мариотта имеем:

Р₁’ V₁ = Р₂’ V₂

Сравним значение произведений Р₁ V1 и Р₁’ V₁

Р₁’ > Р₁ Р₁ V₁ < Р₁’ V₁

V₁ = cоnst

m₂ > m₁ ═> при увеличении m возрастает произведение РV следовательно

РV ~ m

то есть, произведение давления на объём данной массы газа пропорционально массе газа.

3. Рассмотрим график зависимости Р от V при изотермическом процессе для различных веществ с М₁ и М₂ (M₁ < М₂).

при М₁ V₁ соответствует давлению Р₁,

V₂ соответствует давлению Р₂

В соответствии с видом графика и законом Бойля – Мариотта имеем:

Р₁ V₁ = Р₂ V₂

при Т₂ V₁ соответствует давлению Р₁’,

V₂ соответствует давлению Р₂’

в соответствии с видом графика и законом Бойля – Мариотта имеем:

Р₁’ V₁ = Р₂’ V₂

Сравним значение произведений Р₁ V1 и Р₁’ V₁

Р₁’ < Р₁ Р₁ V₁ > Р₁’ V₁

V₁ = cоnst

М₂ > М₁ ═> при уменьшении М возрастает произведение РV следовательно

РV~

произведение давления на объём газа обратно пропорционально значению молярной массы.

4. Сопоставляя полученное

РV~Т

РV~m => РV~ Т

РV~1/М

Введем коэффициент пропорциональности R

РV = R Т уравнение Менделеева – Клапейрона.

Изотермический процесс

Процесс изменения состояния термодинамической системы макроскопических тел при постоянной температуре называется изотермическим.

Для поддержания температуры газа постоянной необходимо, чтобы он мог обмениваться теплотой с большой системой – термостатом. Термостатом может служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса.

Из уравнения состояния идеального газа (4) следует, что при постоянной температуре Т и неизменных значениях массы газа m и его молярной массы M произведение давления Р газа на его объем V должно оставаться постоянным:

PV = const при T = const

Для газа данной массы произведение давления газа на его объем постоянно, если температура газа не меняется.

Изотермический процесс можно осуществить, например, путем изменения объема газа при постоянной температуре.

Этот закон экспериментально был открыт английским ученым Р. Бойлем (1627-1691) и несколько позже французским ученым Э. Мариоттом (1620-1684). Поэтому он носит название закона Бойля – Мариотта.

Закон Бойля – Мариотта справедлив для любых газов, а также и для их смесей (например, для воздуха). Лишь при давлениях, в несколько сотен раз больших атмосферного, отклонения от этого закона становятся существенными.

Зависимость давления газа от объема при постоянной температуре графически изображается кривой, которая называется изотермой. Изотерма газа изображается обратно пропорциональную зависимость между давление и объемом.

Кривая такого рода называется гипербола (рис.1).

Рис.1 График зависимости между давлением и объемом газа при постоянной температуре

Разным постоянным температурам соответствуют различные изотермы. При повышении температуры давление согласно уравнению состояния (4) увеличивается, если V=const. Поэтому изотерма, соответствующая более высокой температуре , лежит выше изотермы, соответствующей более низкой температуре .

В системах координат p, T (рис.2) и V, T (рис.3) изотермический процесс изображается прямой, параллельной соответственно оси p или V. Эти прямые также изотермы. Третий параметр (V или p) не сохраняет вдоль них постоянного значения.

Рис.2 График изотермического процесса в координатах p,T

Рис.3 График изотермического процесса в координатах V,T

Изотермический процесс протекает медленно, так как он обусловлен теплообменом с окружающей средой.

Изобарический процесс

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называется изобарным. Изобарный процесс протекает при неизменном давлении p и условии m = const и M = const.

Согласно уравнению (4) в любом состоянии газа с неизменным давлением отношение объема газа к его температуре остается постоянным:

где V – объем газа при абсолютной температуре T, V₀ – объем газа при температуре 0⁰С; коэффициент α, равный 1/273 К^-1, называется температурным коэффициентом объемного расширения газов.

Для газа данной массы отношение объема к температуре постоянно, если давление газа не меняется.

Этот закон был установлен экспериментально в 1802г. французским ученым Ж. Гей-Люссаком (1778 – 1850) и носит название закон Гей-Люссака.

Формулу закона Гей-Люссака можно переписать в виде:

Таким образом, при неизменной массе газа и постоянном давлении его объем с повышением температуры на 1 градус увеличивается на 1/273 часть того объема, который газ занимает при 273К (0⁰С).

Графически такой процесс изображается прямой с помощью координатных осей V, T продолжение которой проходит через начало координат. Называют эту прямую изобарой (рис.4).

Рис.4 Графическая зависимость изобарического процесса

Угол ее наклона α к оси температур зависит от давления газа: чем больше давление, тем меньше угол наклона (p₃ > p₂ > p₁).

Различным давлениям соответствуют разные изобары. С ростом давления объем газа при постоянной температуре согласно закону Бойле - Мариотта уменьшается. Поэтому изобара, соответствующая более высокому давлению p₂, лежит ниже изобары, соответствующей более низкому давлению p₁.

Следовательно, при одной и той же температуре газ будет занимать тем больший объем, чем меньше его давление. На диаграммах с координатными осями p, V или p, T изобары имеют вид прямых, параллельных оси Т или, соответственно оси V (рис.5, рис.6).

Рис.5 График изобарического процесса в координатах p,T

Рис.6 График изобарического процесса в координатах p,V

Изобарным можно считать расширение газа при нагревании его в цилиндре с подвижным поршнем. Постоянство давления в цилиндре обеспечивается атмосферным давлением на внешнюю поверхность поршня.

Изохорический процесс

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме называют изохорным. Изохорный процесс, протекающий при неизменном объеме V и условии m = const и M = const.

При этих условиях из уравнения состояния идеального газа (4) вытекает, что в любом состоянии газа с неизменным объемом отношение давления газа к его температуре остается постоянным:

Для газа данной массы отношение давления к температуре постоянно, если объем не меняется.

Этот газовый закон был установлен в 1787г. французским физиком Ж. Шарлем (1746 – 1823) и носит название закон Шарля.

График уравнения изохорного процесса называется изохорой. Изохора, изображенная в прямоугольной системе координат по оси ординат которой отсчитывается давление газа, а по оси абсцисс – его абсолютная температура, является прямой, проходящей через начало координат (рис.7).

Рис.7 Графическая зависимость изохорического процесса

Угол наклона α изохоры к оси температур тем больше, чем меньше объем газа (V₃ > V₂ > V₁).

Разные объемам соответствуют разные изохоры. С ростом объема газа при постоянной температуре давление его согласно закону Бойля – Мариотта падает. Поэтому изохора, соответствующая большому объему V₂, лежит ниже изохоры, соответствующей объему V₁.

В системах координат p, V и V, T изохора имеет вид прямой, параллельной оси p или, соответственно, Т (рис.8, рис.9).

Рис.8 График изохорического процесса в координатах p, V

Рис.9 График изохорического процесса в координатах V, T

Увеличение давления газа в любой емкости или в электрической лампочке при нагревании является изохорным процессом. Изохорный процесс используется в газовых термометрах постоянного объема. Также изохорный процесс можно осуществить при нагревании воздуха при постоянном объеме.

Адиабатический процесс

Кроме изобарного, изохорного и изотермического процессов, в термодинамике часто рассматриваются адиабатные процессы.

Адиабатным процессом называется процесс, происходящий в термодинамической системе при отсутствии теплообмена с окружающими телами, то есть при условии Q = 0.

Отсутствие теплообмена с окружающей средой может быть обеспечено хорошей теплоизоляцией газа. Быстрые процессы расширения или сжатия газа могут быть близкими к адиабатическому и при отсутствии теплоизоляции, если время, за которое происходит изменение объема газа, значительно меньше времени, необходимого для установления теплового равновесия газа с окружающими телами.

Примерами адиабатных процессов могут служить процессы сжатия воздуха в цилиндре воздушного огнива, в цилиндре двигателя внутреннего сгорания. В соответствии с первым законом термодинамики, при адиабатном сжатии изменение внутренней энергии газа ΔU равно работе внешних сил А:

ΔU = А

Так как работа внешних сил при сжатии положительна, внутренняя энергия газа при адиабатном сжатии увеличивается, его температура повышается.

При адиабатном расширении газ совершает работу А^' за счет уменьшения своей внутренней энергии:

ΔU = - А'

Поэтому температура газа при адиабатном расширении понижается. Это можно обнаружить в следующем опыте. Если в бутылку, содержащую насыщенный водяной пар, накачивать с помощью насоса воздух, то пробка вылетает. Работа А' по выталкиванию пробки совершается воздухом за счет уменьшения его внутренней энергии, так как расширение воздуха происходит за очень короткое время и теплообмен с окружающей средой не успевает произойти. Образование капель тумана доказывает, что при адиабатном расширении воздуха его температура понизилась и опустилась ниже точки росы.

Поскольку при адиабатном сжатии температура газа повышается, то давление газа с уменьшением объема растет быстрее, чем при изотермическом процессе. Понижение температуры газа при адиабатном расширении приводит к тому, что давление газа убывает быстрее, чем при изотермическом расширении.

График адиабатного процесса в координатных осях p, V представлен на (рис.10).

Рис.10 График адиабатного процесса в координатных p, V

На этом же рисунке для сравнения приведен график изотермического процесса.

Адиабатное охлаждение газов при их расширении используется в машинах для сжижения газов. Охлаждение газа при адиабатном расширении происходит в грандиозных масштабах в атмосфере Земли. Нагретый воздух поднимается вверх и расширяется, так как атмосферное давление падает с увеличением высоты. Это расширение сопровождается значительным охлаждением. В результате водяные пары конденсируются и образуют облака.

Заключение

Таким образом, убедились в том, что основные газовые законы (Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля) представляют собой частные случаи уравнения Клапейрона – Менделеева.

Из данной работы можно сделать вывод, что уравнения состояния содержит в себе в качестве частных случаев газовые законы, связывающие изменение двух термодинамических параметров при неизменном значении третьего.

Для данной массы газа:

1. при T = сonst pV = const

2. при p = const

3. при V = const

Работа и количество теплоты – характеристики процессов, при которых меняется внутренняя энергия.

В изохорном процессе (V = const) работа равна нулю и ΔU = Q.

При изотермическом процессе (T = сonst) внутренняя энергия идеального газа не меняется и Q = A'.

А также в изобарном процессе (p = const) передаваемая система теплота идет на изменение внутренней энергии системы и совершение работы:

И в адиабатном процессе (в теплоизолированной системе):

При обмене теплотой в изолированной системе без совершения работы выполняется уравнения теплового баланса:

Пуассона уравнение

Пуассона уравнение, уравнение с частными производными вида Du = f, где D —оператор Лапласа:

При n = 3 этому уравнению удовлетворяет потенциал u (х, у, z) объёмных масс, распределённых с плотностью f (x, у, z)/4p (в областях, где f = 0 потенциал u удовлетворяет уравнению Лапласа), а также потенциал объёмно распределённых электрических зарядов. При этом плотность распределения f должна удовлетворять известным требованиям гладкости (например, условию непрерывности частных производных). Если функция f отлична от нуля лишь в конечной области G, ограничена и имеет непрерывные частные производные первого порядка, то при n = 2 частное решение П. у. имеет вид:

а при n = 3:

где r (А, Р) — расстояние между переменной точкой интегрирования А и некоторой точкой Р. В более подробной записи

V (х, у, z) =

Решение краевых задач для П. у. сводится подстановкой к решению краевых задач для уравнения Лапласа Dw = 0.

АДИАБАТНЫЙ ПРОЦЕСС

Адиабатный процесс — процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой.

Из первого начала термодинамики следует, что работа газа при адиабатном процессе совершается за счет его внутренней энергии:  (1). С другой стороны, из уравнения Клапейрона-Менделеева следует:  (2). Разделим уравнение (2) на уравнение (1): , где . Проинтегрируем полученное уравнение: . Таким образом, при адиабатном процессе  или  — уравнение Пуассона. С учетом уравнения Клапейрона-Менделеева ( , ) уравнение Пуассона может быть представлено в виде:  или  или .

График адиабатного процесса — более крутая кривая, чем гипербола при изотермическом процессе. Это следует из выражения производной , полученной из уравнения Пуассона.

Работа газа при адиабатном процессе равна убыли внутренней энергии: .

Далее уточнения из вики)

Работа газа

Основная статья: Термодинамическая работа

Совершение над газом работы на элементарном участке dh. Совершаемая работа показана красными лампочками

В частном случае, когда работа совершается через изменение объёма, можно определить её таким способом. Пусть газ заключён в цилиндрический сосуд, плотно закрытый легко скользящим поршнем. Если газ будет расширяться, то он будет перемещать поршень и при перемещении на отрезок dh совершать работу^[9][10]:

,

где F — сила, с которой газ действует на поршень. Перепишем уравнение:

итого работа будет равна^[9][10]:

,

где  — давление газа, dV — малое приращение объёма.

Аналогично видно, что уравнение выполняется и для сосудов с произвольной поперечной формой сечения. Данное уравнение справедливо и при расширении на произвольных объёмах. Для этого достаточно разбить поверхность расширения на элементарные участки dS на которых расширение одинаково^[9].

Итого основное уравнение термодинамики примет вид^[11]:

(1)

Очевидно, для выполнения этого уравнения процесс должен быть квазистатическим, в противном случае при резком изменении хода поршня давление, которое будет его перемещать будет отличаться от давления в целом по газу^[12].

Однако работа может совершаться и другими путями — например, идти на преодоление межмолекулярного притяжения газов. В этом случае параллельно с изменением внутренней энергии будет происходить процессы совершения нескольких работ разной физической природы, и основное уравнение термодинамики примет вид:

(1a)

где — дифференциальное выражение для работы, a_i — внешние параметры, A_i — соответствующие им внутренние параметры.