Примеры нахождения изображений
Рассмотрим функцию . Функция называется единичной функцией Хевисайда.
1
0 t
.
Итак, , причем функция определена в области .
Рассмотрим функцию , где а – комплексное число.
Имеем: , если или (т.е. правее прямой ).
Итак .
Роль множителя в левой части состоит в том, что он «гасит» (обращает в нуль) функцию при . В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые нами функции снабжены множителем , хотя сам этот множитель в написании часто будем опускать.
Рассмотрим функцию .
Имеем: . Итак, .
Вопрос 2. Простейшие свойства преобразования Лапласа.
Теорема (о единственности изображения).
Если две непрерывные функции и имеют одно и то же изображение, то эти функции тождественно равны: .
Теорема (о линейности изображения).
Изображение суммы нескольких функций, умноженных на постоянные, равно сумме изображений этих функций, умноженных на соответствующие постоянные, т.е. если
,
где – произвольные комплексные числа и для , а , то
.
Или, .
Доказательство.
Справедливость теоремы вытекает из свойства линейности интеграла, определяющего изображение.
Умножим обе части равенства на , получим
.
Вычислим несобственный интеграл в пределах от 0 до :
, что и т.д.
На основании этого свойства, получаем
,
таким образом .
Аналогично находим, что .
Рассмотрим гиперболическую функцию
,
таким образом, .
Аналогично находим, что .
Таблица изображений основных элементарных функций
1 |
|
7 |
|
13 |
|
2 |
|
8 |
|
14 |
|
3 |
|
9 |
|
15 |
|
4 |
|
10 |
|
16 |
|
5 |
|
11 |
|
17 |
|
6 |
|
12 |
|
18 |
|
Пример
Найти изображение оригинала , используя таблицу и свойство линейности.
Решение: .
Вопрос 3. Теоремы подобия, смещения, запаздывания.
Теорема подобия. Если – оригинал и – его изображение по Лапласу , , тогда для любого постоянного
, .
Доказательство.
.
Таким образом, умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.
Пример
Пользуясь этой теоремой из формулы можно получить
.
Аналогично можно получить .
Пусть задана функция при и при , .
Рассмотрим функцию , где – положительное число.
0 t
|
0 t
|
График функции можно получить из графика функции путем сдвига последнего на величину вдоль оси t.
Таким образом, если определяет течение во времени некоторого процесса, то функция определяет тот же процесс, но начавшийся с опозданием .
С помощью единичной функции Хевисайда запаздывающую функцию можно записать так
,
ибо при (в этом случае аргумент отрицателен) и при .
Теорема запаздывания. Если , то для любого положительного
.
То есть, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .
Доказательство.
Так как при , то
Положим . При получаем , при имеем . Тогда
.
Пример
Найти изображение оригинала .
Решение
Здесь функция – функция , но «включенная» с запаздыванием . Так как , то по теореме запаздывания получим
.
Замечание. Если бы мы рассматривали функцию , то эта функция означает оригинал без запаздывания. Изображение этой функции .
На практике часто приходится иметь дело с затухающими функциями, затухание которых происходит по экспоненте (показательному закону). Спрашивается, можно ли найти изображение функции с таким затуханием, если известно изображение функции без затухания? На этот вопрос отвечает теорема.
Теорема смещения Если , то для любого комплексного числа
.
Доказательство.
Эта теорема позволяет по известным изображениям функций находить изображения тех же функций, умноженных на показательную функцию .
Примеры
Используя , получим .
Используя , получим .
Пример
Найти изображение функции, заданной графически.
4
2 1
0 1 2 3 t |
Решение. Запишем аналитическое выражение функции:
|
При функция ; в момент включается функция , в момент она гасится и включается функция ; в момент она гасится и включается функция ; в момент она гасится. Эту последовательность можно записать так:
,
тогда .
Выводы.
Преобразованием Лапласа заданной функции действительной переменной t называется преобразование, ставящее в соответствие функции функцию комплексного переменного р, определенную с помощью интеграла (2).
Функция (удовлетворяющая условиям 1) – 3)) называется оригиналом (прообразом), а функция – изображением Лапласа функции (или, короче, изображение, образ).
Единичная функция Хевисайда «гасит» (обращает в нуль) заданную функцию при .
Если две непрерывные функции и имеют одно и то же изображение, то эти функции тождественно равны: .
Изображение суммы нескольких функций, умноженных на постоянные, равно сумме изображений этих функций, умноженных на соответствующие постоянные (свойство линейности изображения).
Умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число (теорема подобия).
Запаздывание аргумента оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на (теорема запаздывания).
Теорема смещения позволяет по известным изображениям функций находить изображения тех же функций, умноженных на показательную функцию .