Геометрическая интерпретация — вариант 1
Рассмотрим формулу (2) — второй шаг алгоритма. Её геометрическое представление изображено на рис. 1:
1 — получение проекции вектора на ;
2 — вычисление , то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование конца на . Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (2) вектор ;
3 — перемещение полученного на шаге 2 вектора в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (2).
На рисунке видно, что вектор ортогонален вектору , так как является перпендикуляром, по которому проецируется на .
Рассмотрим формулу (3) — третий шаг алгоритма — в следующем варианте:
Её геометрическое представление изображено на рис. 2:
1 — получение проекции вектора на ;
2 — получение проекции вектора на ;
3 — вычисление суммы , то есть проекции вектора на плоскость, образуемую векторами и . Эта плоскость закрашена на рисунке серым цветом;
4 — вычисление , то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование конца на плоскость, образуемую векторами и . Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (6) вектор ;
5 — перемещение полученного в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (6).
На рисунке видно, что вектор ортогонален векторам и , так как является перпендикуляром, по которому проецируется на плоскость, образуемую векторами и .
Таким образом, в процессе Грама — Шмидта для вычисления выполняется проецирование ортогонально на гиперплоскость, формируемую векторами . Вектор затем вычисляется как разность между и его проекцией. То есть — это перпендикуляр от конца к гиперплоскости, формируемой векторами . Поэтому ортогонален векторам, образующим эту гиперплоскость.
Геометрическая интерпретация — вариант 2
Рассмотрим проекции некоторого вектора на вектора и как компоненты вектора в направлениях и (рис. 3)
Если удалить из компоненту в направлении , то станет ортогонален (рис. 4):
Если из удалить компоненты в направлениях и , то станет ортогонален и , и (рис. 5):
В формуле (2) из вектора удаляется компонента в направлении вектора . Получаемый вектор не содержит компоненту в направлении и поэтому ортогонален вектору .
В формуле (3) из вектора удаляются компоненты в направлениях и (формуле 3 соответствует переход от рис. 3 к рис. 5; рис. 4 не соответствует формуле 3). Получаемый вектор ортогонален векторам и .
В формуле (4) из вектора удаляются компоненты в направлениях . Получаемый вектор ортогонален векторам .
Таким образом, по формулам (1) — (4) на основе векторов получается набор ортогональных векторов .
Численная неустойчивость
При вычислении на ЭВМ по формулам (1) — (5) вектора часто не точно ортогональны из-за ошибок округления. Из-за потери ортогональности в процессе вычислений классический процесс Грама — Шмидта называют численно неустойчивым.
Модифицированный процесс Грама — Шмидта
Процесс Грама — Шмидта может быть сделан более вычислительно устойчивым путём небольшой модификации. Вместо вычисления как
этот вектор вычисляется следующим образом:
Геометрическая интерпретация
Рассмотрим получение по формулам (8) — (11):
Геометрически это показано на рис 6:
На рис. 6 вектор обозначен как .
1 — получение проекции вектора на для формулы (12), то есть компоненты в направлении ;
2 — вычитание по формуле (12), то есть удаление из компоненты в направлении . Получаемый вектор ортогонален , так как не имеет компоненты в направлении ;
3 — перенос вектора в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (12).
4 — получение проекции вектора на для формулы (13), то есть компоненты в направлении ;
5 — вычитание по формуле (13), то есть удаление из компоненты в направлении . Получаемый вектор ортогонален , так как не имеет компоненты в направлении . При вычитании из компоненты в направлении в результирующем векторе не появляется компонента в направлении ;
6 — перенос вектора в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (13).
Таким образом, получаемый на рис. 6 вектор не имеет компонент в направлениях и и поэтому ортогонален и .
Рассмотрим непосредственно формулы (8) — (11).
В формуле (8) из вектора удаляется компонента в направлении вектора . Получаемый вектор не содержит компоненту в направлении и поэтому ортогонален вектору .
Далее в формуле (9) из результата удаляется его компонента в направлении вектора . Получаемый вектор не содержит компоненту в направлении и поэтому ортогонален вектору .
Путём дальнейшего последовательного удаления из результата его компонент получается вектор , не содержащий компонент в направлениях и потому ортогональный векторам .