Экстремум функций многих переменных.

М₀(x₀;y₀) – точка локального максимума функции z= f(x,y), если для любой M(x,y) из окрестности М₀(x₀;y₀) справедливо неравенство f(M₀) > f(M).

Для нахождения экстремумов функции необходимо:

1. Нахождения частных производных первого порядка, и приравнивание частной производной к нулю для нахождения стационарных точек.

2. Нахождение частных производных второго порядка.

∆= AC - B²

Рассмотрим возможные случаи ∆:

1. ∆ > 0 экстремум существует.

1. A < 0 – max

2. A > 0 – min

2. ∆ < 0 экстремум не существует.

3. ∆ = 0

Производные высших порядков.

Под действием линейного оператора , пространство V переходит в .

Для множества линейных операторов.

Величина более высокого порядка малости. Т.е.

Смешанное дифференцирование не зависит от порядка дифференцирования.

П усть есть некая

Рассмотрим разность разностей.

Т.к. - одинаковое в обоих случаях, то мы получаем равенство

Тем самым мы доказали что можно дифференцировать по любой из переменных в смешенном дифференциале.

Ряд и формула Тейлора.

Ряд Тейлора.

Для множества переменных:

Формула Тейлора.

Если во всех точках отрезка соблюдается,

Тогда получаем

Теорема о конечном приращении.

Пусть существует пространство

Доказательство.

Пусть

Т огда

Расстояние между и - стремится к нулю

18.Приближенный метод определения экстремума.

Метод наименьших квадратов

если выбираем параметр а, так что бы сумма была минимумом.

Пример:

Градиентный спуск:

Ч ем ближе к экстремуму - тем меньше «шаги» (т.е. градиент)

Но тут надо найти берем из:

Эта задача проще Метода наименьших квадратов, тут одна переменная , а не ряд..но считать надо на каждом шаге

Берем другой вектор

Метод тяжелого шарика (Шар катится по оврагу, рано или поздно

остановившись в центре оврага)

Чем ближе к единице - тем больше инерция у шарика

Метод сопряженных градиентов для квадратичной формы

-переменная:

( Не квадратичную форму раскладываем в ряд Тейлора)

Экстремум тут находится:

И находим экстремум на каждом шаге.

Метод Ньютона

-мало

Но для -надо находить обратную матрицу, решая систему л.у.

Тут сходимость, как в : 2,4,,16,256,,,,

Демпфированный метод Ньютона

Берем:

КвазиНьютоновский

Оцениваем :

Используя направления, накапливаем , чтобы была ближе к

Градиент. Производная по направлению. Необходимые условия экстремума.

- если оператор ограничен.

- градиент

для получения - нужно и (!)

Если функция дифференцируема, то существует частная производная.

- локальные

Соответствующая производная должна быть равна 0

равно нулю при любом

- необходимое условие для локального экстремума.

Достаточное условие экстремума.

>0

В достаточно малой окружности (области).

Условный экстремум.

- дифференцируемые функции.

меняет знак

- если будет >0 или <0, то мы не получим 0.

и Тогда мы имеем

=

15.Т.Вейерштрасса для функции многих переменных

( -компакт т.е. замкнутая и ограниченная область)

достигает на этом компакте своего наибольшего и наименьшего значения

: =inf ; =sup

: ⇒ A=inf , B=sup

=sup

: :

10.Условие Коши-Римана

Раскладываем и сравниваем:

=

-----Условие Коши-Римана

9 .Достаточные условия дифференцируемости

Функция меняет значение от 1,0…

Вдоль любого направления есть производная, равная «0»(т.к. функция равна нулю)=> имеет производные во всех направлениях, и частную в нуле.

Но она не будет дифференцируема, т.к. она не будет непрерывная, потому что в любой окрестности «0» она равна то «0», то «1» (в нуле не имеет предела)

Доказываем для f(x,y,z)

(предполагаем непрерывность Частных Производных в окрестности точки)

Все это в силу непрерывности Частных Производных( и => так же для сколь угодно много слагаемых)

1.Метрические пространства. Примеры.

Определение M – множество

- операция 2-ух переменных

1⁰ обращается в ноль при совпадении двух элементов

2⁰ симметричность операции

3⁰ неравенство треугольника

^def метрика (расстояние)

Примеры:

1⁰

2⁰

3⁰

Эвклидова метрика (норма совпадает с разностью вектора)

4⁰

f-не прерывно на отрезке [a,b]

пространство функции не прерывно на отрезке [a,b]

2.Сходимость метрического пространства.

Свойства метрического пространства

Определение:

1⁰ М- множество

- метрика на М

(М, )^def метрическое пространство (МП)

2⁰

Пространство сходится по метрике этого пространства, если расстояние между ними стремится к нулю.

(по метрике)

3⁰ Последовательность называется фундаментальной в данной метрике.

^def фундаментальная последовательность

Замечание:

1⁰ Любая сходящаяся последовательность будет являться фундаментальной

- сходится в М - фундаментальная

Доказательство:

Пусть

Последовательность фундаментальна

2⁰ Обратно не верно.

Если последовательность фундаментальна, она не обязательно будет сходиться.

-фундаментальна

Но не является сходящейся в М

Рассмотрим метрическое пространство.

Любая фундаментальная последовательность будет сходящейся.

Такое пространство называется полным.

- МП

Пусть

- фундаментальна

^def ПМП

Примеры:

1⁰ - ПМП

2⁰ пространство непрерывной функции

Sup разности – метрика

- ПМП

Определение: есть МП

- МП

Есть отображение МП в себя (оператор)

(оператор)

1⁰ F – непрерывно в

4.Принцип сжимающихся отображений.

2⁰ сжимающее отображение

Сжимающий оператор, если существует const такая, что для любых двух элементов выполняется следующее:

Замечание.

Любое сжимающее отображение непрерывно в любой точки

Сжимающее отображение непрерывно

Пусть

Определение

- МП

неподвижная точка

Теорема.

Принцип сжимающих отображений

- ПМП

сжимающий оператор

Тогда: - неподвижная точка F (единственная точка)

Доказательство

Пусть неподвижная точка, 2-е , они совпадают

Единственность: пусть

Отображение сжимающее, поэтому

Существование

Пусть

Построим последовательность, которая сходится в неподвижной точки.

Построим

Каждая последующая является образам предыдущей

2 соседних индекса

Докажем, что последовательность фундаментальна

Отображение сжимающее.

Возьмем 2 различных индекса.

между ними много индексов

-геометрическая прогрессия

-геометрическая прогрессия

- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Расстояние между соседними стремится к 0

-фундаментальная последовательность

-ПМП

(неподвижная точка)

Докажем: - неподвижная точка F

Применим неравенство треугольника

- образ предыдущего

Используем сжимающее отображение

Последовательность сходится к , поэтому можно ее сделать бесконечно малым.

Из этого следует, что расстояние 0

Из этого следует, что совпадают

3. Полнота, неполнота, пополнение (пространств)

Билет № 2 пункт 3⁰

Теорема.

(Полнота пространства непрерывных функций)

Полнота

- ПМП

Доказательство: фундаментальные последовательности сходятся

Пускай последовательность фундаментальна

Определить фундаментальность последовательности

Для каждого x числа последовательность фундаментальна

- фундаментальная последовательность

По критерию Коши это сходящаяся последовательность

- сходится ( )

Применили к пределу при m , так как x фиксирован

Получили подточенную последовательность

(!) докажем непрерывность

(!)

Была предельная сходимость, значит равномерно сходится к

значит пространство полное

- расстояние между 2 точками

определение предела последовательности

Для эти метрики эквивалентны

Окрестность нуля

вектор сходится к 0

Если - окрестности принадлежит , то она принадлежит и

Если попало во внутренний кружок, тогда попало и в ромб и выполняется:

Если сходимость в одной метрики, то сходимость в другой.

В - окрестность одну вкладывается - окрестность другая.

Доказательство:

Раз для всех i выполняется, значит и для max выполняется.

Наоборот:

- полное пространство, любая фундаментальная последовательность сходится.

Фундаментальность: последовательность Коши

-член последовательности

- координаты

Последовательность для всех i является фундаментальной.

Если сходимость векторов, номер должен быть общим.

Меняется по всему промежутку.

Относительно метрике пространство

не является полным относительно ,

последовательность является фундаментальной и не сходится.

1

1

1/n

1/m

t

f_n(t)

эта последовательность фундаментальна

0 <t<1

f(t₀)

Фиксируем t₀

Для всех t окрестности

- метрика 1

Последовательность функции будет не сходиться к функции не прерывной.

Не будет не прерывной, следовательно, пространство не является полным.

1

-1

1

-1

1/n

-1/n

Д ля любого отрезка

1

-1

Годиться для

Функции не прерывны. Последовательности фундаментальны. Не является полным относительно метрике .