7. Общее решение неоднородного дифференциального уравнение линенейного порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

8. Метод Лагранжа решение неоднородного дифференциального уравнение линенейного порядка с постоянными коэффициентами

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) решения неоднородного уравнения. Теперь мы знаем, как устроены общие решения и неоднородного линейного уравнения (сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения), и однородного линейного уравнения (линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений). Остался вопрос: как найти фундаментальную систему решений и частное решение? Оказывается, в общем случае фундаментальную систему решений можно найти только для уравнений с постоянными коэффициентами (и уравнений, которые сводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами). Такими уравнениями мы займёмся ниже, а в этом разделе рассмотрим метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного уравнения. Принципиально то, что этот метод работает, если известна фундаментальная система решений линейного уравнения. Основную идею этого метода изложим для самого простого случая неоднородного уравнения второго порядка

;

(29)

Пусть y1(x), y2(x) - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

;

(30)

yоо(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) - общее решение однородного уравнения (30). Идея метода Лагранжа состоит в следующем. Ищем общее решение неоднородного уравнения (29) в том же виде y(x)=C1(x)y1(x) + C2 (x)y2(x), предполагая, что постоянные C1, C2 - не постоянные, а функции, зависящие от x: C1 = C1 (x), C2 = C2(x). Мы должны найти эти функции. Находим производную  :  . Дальше надо вычислять вторую производную. Воспользуемся тем обстоятельством, что вместо одной функции y(x) мы ищем две функции C1 (x) и C2(x), и, как следствие, можем наложить произвольную связь на эти функции. Для того, чтобы в выражении для второй производной   не участвовали вторые производные функций C1 (x) и C2(x), в качестве этой связи положим

;

(31)

Тогда  . Подставляем выражения для y(x) и её производных в уравнение (29):    Преобразуем:    Выражения в квадратных скобках раны нулю, так как функции y1(x), y2(x) - решения однородного уравнения (30), поэтому окончательно

;

(32)

Уравнения (31),(32) дают замкнутую систему для функций   и  :

(33)

определитель этой системы совпадает с вронскианом функций y1(x), y2(x) и поэтому отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение  ,  . Находя это решения и интегрируя выражения производных для   и  , получим C1 (x) и C2(x), а значит, и общее решение неоднородного уравнения (29) y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x).  Пример: найти общее решение уравнения  .  Мы начали решать эту задачу в разделе 14.5.8. Понижение порядка линейного однородного уравнения. Была найдена фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения и его общее решение yоо (x) = C1 x + C2 ln x. В соответствии с методом вариации, ищем решение неоднородного уравнения с приведённым к единице коэффициентом при старшей производной   в виде y(x) = C1(x) x + C2(x) ln x. Система (33) для коэффициентов   и  будет такой:      Ответ: общее решение уравнения y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) = (- x ln x + C10)x +   (в окончательном ответе индекс "0" у постоянных опущен).  В общем случае неоднородного уравнения n-го порядка  , если известна фундаментальная система решений y1(x), y2(x), …, yn(x) соответствующего однородного уравнения, решение неоднородного уравнения ищется в виде y(x) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + …+ Cn(x) yn(x). Тогда    Потребуем, чтобы сумма слагаемых, содержащих производные функций Ci(x), т.е. чтобы сумма, стоящая в квадратной скобке, была равна нулю:  , тогда   Опять положим  , и т.д. Для n-ой производной получим  Подставляя выражения для производных в неоднородное уравнение и учитывая, что функции yi(x) удовлетворяют соответствующему однородному уравнению, получим  . Вместе с принятыми ранее соотношениями для производных   получим систему уравнений    Определитель этой системы, как и при n = 2, совпадает с вронскианом фундаментальной системы решений, следовательно, система имеет единственное решение  . Находя это решение и интегрируя, найдём Ci(x) (i = 1, 2, …, n), а значит, и общее решение неоднородного уравнения (29) y(x) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + …+ Cn(x) yn(x).