Основные типы Дифференциальные уравнения 1порядка и методы их решения.
Дифференциальные уравнения Высших порядков. Линейные Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений связано с понятием линейной независимости функций. Функции у1, у2, .... yn называются линейно зависимыми в данном интервале изменения аргумента х, если в этом интервале выполняется тождество C1y1+C2y2+…+Cnyn=0, где C1, C2, ..., Сn - постоянные, из которых хоть одна отлична от нуля. Если же в данном интервале изменения х указанное тождество выполняется только тогда, когда все постоянные С1, С2, ..., Сn равны нулю, то функции у1, у2, ..., yn называются линейно независимыми в данном интервале.
Необходимое условие линейной зависимости функции: если функции у1, у2, ..., уn линейно зависимы в данном интервале изменения аргумента, то определитель Вронского (вронскиан)
тождественно равен нулю в этом интервале. Отсюда: если W(y1, y2, ..., yn)≠0, то функции линейно независимы в этом интервале (достаточное условие линейной независимости функций).
Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами а0, a1, ..., an:
Общее решение имеет вид
здесь С1, С2, …, Сn - произвольные постоянные; у1, y2, …, yn - линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения (система таких решений называется фундаментальной); у* - какое-либо частное решение данного неоднородного уравнения.
Для отыскания у1, у2, ..., уn следует найти корня характеристического уравнения:
Простому
действительному корню rm соответствует
решение однородного уравнения 
Действительному корню rm кратности k соответствуют решения
Если
rm=α+iβ (комплексный корень), то имеется
и сопряженный корень 
;
этой паре корней соответствуют
Если rm=α+iβ - комплексный корень кратности k, то имеется и сопряженный корень той же кратности k; этой паре корней соответствуют решения
ПРИМЕР 1. Уравнение изгиба балки на упругом основании
Характеристическое
уравнение k4+b4=0 имеет корни 
отсюда получаем
Общее решение однородного уравнения
Для нахождения частного решения у* неоднородного уравнения либо применяют способ неопределенных коэффициентов, если правая часть имеет структуру, указанную выше (см. 1.9.4), либо пользуются вариацией произвольных постоянных. При этом в общем случае частное решение у* ищут в форме
Производные С′i(х) определяют из системы алгебраических линейных уравнений, определитель которой есть определитель Вронского, отличный от нуля в силу линейной независимости решений y1, у2, ..., уn:
имея C′i(x) находят интегрированием Сi(х).
Наряду с методом вариации произвольных постоянных применяется «символический метод»
Линейные Дифференциальные уравнения высших Порядков. Метод Эйлера решение однородного дифференциального уравнение с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = 0.
Коэффициенты an-1, ... , a1, a0 — постоянные десйствительные числа.
Попытаемся найти решение уравнения в виде y(x) = exp(λx).
Подставим функцию y(x) = exp(λx) в уравнение:
y(x) = exp(λx),
y'(x) = λexp(λx),
y''(x) = λ2exp(λx),... ,
yn(x) = λnexp(λx),
λnexp(λx) + an-1λn-1exp(λx) + ... + a1λexp(λx) + a0exp(λx) = 0,
exp(λx)(λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0) = 0.
Поскольку exp(λx) ≠ 0, функция y(x) = exp(λx) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда
λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0.
Уравнение λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0 называетсяхарактеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Многочлен n-й степени Pn(x) = λn +an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 называется характеристическим многочленомуравнения.
Справедливо следующее утверждение (теорема Эйлера).
Для того чтобы функция y(x) = exp(λ0x) была решением уравнения y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = 0, необходимо и достаточно, чтобы число λ0 было корнем характеристического уравнения λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0.
Из теоремы Эйлера следует следующее утверждение.
Если числа λ1≠ λ2≠ ... ≠ λn — различные действительные корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, то функции exp(λ1x), exp(λ2x), ..., exp(λnx) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:
y(x) = C1exp(λ1x) + C2exp(λ2x)+ ...+ Cnexp(λnx).