2.3. Проекція вектора на вісь. Координати вектора

Віссю називається спрямована пряма. Напрямок прямої на малюнку зазвичай позначають стрілкою. Заданий напрямок вісі вважається позитивним, протилежний до нього – від'ємним. Вісь Ох однозначно визначається одиничним вектором , ( ), напрямок якого зібгається з напрямком вісі Ох.

Такий вектор називається ортом вісі Ох.

Кутом між вектором і віссю Ох називається кут φ між векторами і .

Проекцією точки А на вісь Ох називається точка А₁ перетину цієї вісі з площиною, яка проходить через дану точку А перпендикулярно вісі Ох.

Проекцією вектора на вісь Ох називається алгебраїчна величина відрізка А₁В₁, де А ₁, В₁ – проекції точок А і В на дану вісь. Довжина відрізка А ₁В₁ береться зі знаком +, якщо напрямок відрізка збігається з позитивним напрямком осі Ох і зі знаком – у протилежному випадку. Відповідно до малюнка

В

проекція вектора на вісь ОХ є додатною величиною і визначається довжиною відрізка А₁В₁. Проекція вектора на вісь Оx є від’ємною величиною і дорівнює - С₁D₁.

Проекція вектора на вісь Ох дорівнює добутку його модуля на косинус кута φ між цим вектором і віссю Ох.

п

А

р_х = а_х = соs φ.

Звідси випливає, що проекція вектора на вісь додатна, якщо вектор утворює з віссю гострий кут; від’ємна, якщо цей кут тупий, дорівнює нулю, якщо цей кут прямий.

Проекції рівних векторів на ту саму вісь рівні між собою.

Проекції векторів і на дану вісь мають такі властивості:

1. пр_х ( + ) = пр_х + пр_х = а_х + b_х,

2. пр_х (λ ∙ ) = λ ∙пр_х = λ ∙а_х.

Якщо α, β, γ – кути, утворені вектором з координатними вісями Ох, Оу, Оz прямокутної системи координат, то проекції вектора на координатні вісі визначаються за формулами

а_х = ∙соs α, а_у = ∙ соs β, а_z= ∙ соs γ.

Модуль вектора через його проекції на вісі прямокутної системи координат обчислюється за формулою:

= .

Тоді напрямні косинуси визначаємо так:

,

,

.

Для напрямних косинусів існує формула:

соs² α + соs²β + соs² γ = 1.

Приклад. Вектор заданий координатами . Знайти модуль цього вектора і значення його напрямних косинусів.

Розв’язання: Модуль вектора обчислюється за формулою , а його напрямні косинуси дорівнюють , , .

Відповідь: ; , , .

Якщо - одиничні вектори, спрямовані по координатних осях Ох, Оу, Оz відповідно, то розкладання вектора за трьома координатними осями має вигляд

,

де а_х, а_у, а_z – проекції вектора на координатні вісі Ох, Оу, Оz, які називаються координатами вектора і позначаються як ( а_х, а_у, а_z).

Якщо початок вектора співпадає з початком координат, а його кінець- точка А - має координати х, у, z, то тоді його проекції на координатні вісі дорівнюють координатам його кінця, тобто а_х = х, а_у = у, а_z = z.

У цьому разі вектор називається радіусом-вектором точки А. Радіус-вектор точки позначається зазвичай через , а модуль радіуса-вектора обчислюється за формулою .

Якщо для вектора відомі координати його початку А(х₁, у₁, z₁) і кінця В(х₂, у₂, z₂), причому початок вектора не обов’язково збігається з початком координат, то проекції вектора на координаті вісі визначаються таким чином

а_х = х₂ - х₁, а_у = у₂ – у₁, а = z₂ – z₁.

Вектор в цьому разі можна подати через його координати

,

а його модуль визначається виразом

.

Приклад. Вектор заданий координатами точок А(2, 1, 3) і В(5, -2, 3). Знайти модуль вектора .

Розв’язання: Проекції вектора на координатні вісі дорівнюють:

а_х = х₂ – х₁ = 5 – 2 = 3,

а_у = у₂ – у₁= -2 -1 = -3,

а_z = z₂ – z₁= 3 – 3 = 0.

Модуль вектора дорівнює .

Відповідь: .