![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
2. Основи векторної алгебри
2.1. Поняття вектора
Розрізняють два види величин: скалярні і векторні.
Якщо деяка величина повністю визначається певним чином, то її називають скалярною. Прикладами скалярних величин є маса, довжина, об’єм, площа, кількість, температура та ін. Скалярні величини є алгебраїчними величинами і з ними можна здійснювати будь-які алгебраїчні дії: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення у ступінь.
Якщо при визначенні деякої величини крім числового значення треба знати і її напрямок, то така величина називається векторною. Прикладами таких величин є швидкість, прискорення, сила. Векторні величини зображуються за допомогою векторів.
Вектором називають
спрямований відрізок, що має певну
довжину, у якої одна з точок, що його
обмежує, приймається за початок, а друга
– за кінець. Якщо точка А
– початок вектора, а точка В
– його кінець, то вектор позначається
символом
і
зображують його так
Вектор можна
позначити й однією буквою, наприклад,
.
Тоді його зображення має вигляд
Довжина вектора
називається його модулем і позначається
символом
.
Вектор називається
нульовим, якщо його модуль дорівнює
нулю. У такому векторі початок і кінець
збігаються. Нульовий вектор не має
визначеного напрямку, його довжина
дорівнює нулю, і позначається
.
Вектор
,
модуль якого дорівнює 1,
називається одиничним. Вектори, які
лежать на паралельних прямих чи на тій
же прямій, називаються колінеарними.
Наприклад, колінеарними є вектори
,
,
,
,
що подані на
малюнку.
Колінеарні вектори, які мають однаковий напрямок, називаються рівно спрямованими, а ті, що мають протилежні напрямки, – протилежно спрямованими.
Два вектори і називаються рівними, якщо
- рівні їхні модулі
;
- вони є рівно спрямованими.
У цьому разі пишуть
.
Два вектори
і
називаються протилежними, якщо:
- рівні їхні модулі ;
- вони є протилежно спрямованими.
У цьому разі пишуть
.
Цілком зрозуміло, що
.
2.2. Лінійні операції над векторами.
Лінійними операціями над векторами є операції додавання, віднімання векторів і множення вектора на число.
Додавання векторів.
Сумою двох векторів
і
називають третій вектор
,
який визначається відповідно до одного
з правил:
Правило трикутника:
1) від довільної
точки О відкладаємо вектор
;
2) від його кінця
A
відкладаємо вектор
;
3) початок першого вектора з’єднується з кінцем другого;
Одержаний вектор
є вектором
,
який дорівнює
Правило паралелограма.
1) від довільної точки О відкладаємо вектор ;
2) від тієї ж точки відкладаємо вектор ;
3) побудуємо на цих векторах як на сторонах паралелограма OACB діагональ OC ;
4) вектор
,
що є діагоналлю цього паралелограма, є
вектор
,
який є сумою векторів
і
:
.
Властивості суми векторів :
1. Сума двох векторів має комутативну (переставну) властивість:
;
2. Сума векторів
має асоціативну (поєднувальну) властивість:
.
Поняття суми векторів можна узагальнити на випадок довільної скінченої кількості векторів.
Сумою n
векторів
називають
вектор, початок якого збігається з
початком вектора
,
а кінець - з кінцем вектора
за
умови, що точка прикладання кожного
наступного вектора збігається з кінцем
попереднього. Наприклад, сумою векторів
є вектор
Віднімання векторів.
Різницею двох векторів і називають третій вектор , який під час додавання з вектором дає вектор . Побудувати вектор можна за малюнком
B
Множення вектора на число.
Д
,
модуль якого дорівнює модулю вектора
,
помноженого на λ,
тобто
,
а напрямок збігається з напрямком
вектора
при λ > 0 і
протилежний йому при
λ < 0. Наприклад, вектори
,
3
,
-2
мають
вигляд
Два вектори
і
є колінеарними, якщо існують такі числа
α
і β,
що має місце рівність
.