Департамент по авиации
Министерства траспорта и коммуникаций Республики Беларусь
Минский государственный высший авиационный колледж
Кафедра естественнонаучных дисциплин
КУРСОВАЯ РАБОТА (ПРОЕКТ)
Тема: Расчет частотных и фазовых характеристик четырехполюсника
По дисциплине: «Высшая математика»
Специальность: «Техническая эксплуатация радиоэлектронного оборудования»
Андрикевича Игоря Викторовича
Курса 2 группы Р110
Руководитель Степа Наталья Николаевна
Консультант Балодис Александра Ивановна
Курсант Андрикевич Игорь Викторович
Минск – 2011 г.
Департамент по авиации
Министерства транспорта и коммуникаций Республики Беларусь
Минский государственный высший авиационный колледж
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой ЕНД
__________Кириленко А.И.
«____»_____________20__г.
ЗАДАНИЕ
на курсовую работу (проект)
по дисциплине______________________________________________________
курсанта______________________курса__________________________группы
ф амилия имя отчество
Тема курсовой работы (проекта)_______________________________________
При выполнении курсовой работы (проекта) по данной теме должны быть представлены:
1.Пояснительная записка
2.Расчетно-графическая часть
3.Выводы
4.Список использованных источников
Руководитель
Курсовой работы (проекта) _________ _______________________________
подпись фамилия, имя, отчество
Консультант ____________________ _______________________________
подпись фамилия, имя, отчество
Дата выдачи _____ ________________20__г.
Срок сдачи ______ ________________20__г. Подпись курсанта____________
Минск – 2011г.
Оглавление:
Введение…………………………………………………………………4
1. Понятие добротности………………………………………………...4
2. Нахождение добротности осциллятора..……………………………8
3.Экспериментальная работа с наклонным маятником………………9
3.1.Порядок выполнения эксперемента……………………………...9
3.2.Обработка результатов измерения……………………………….9
3.3.Опесание установки…………………………………………...….10
3.4.Результаты эксперемента………………………………………...11
4. Затухающие колебания………………………………………………12
5.Спектры затухающих колебаний…………………………………….19
Выводы…………………………………………………………………..24
Список использованных источников…………………………………..25
Введение
Добротность - очень ёмкое понятие в теории колебаний. Дело в том, что любая одномерная колебательная система всегда характеризуется двумя основными параметрами: ω0 - собственной частотой и β - коэффициентом затухания. Следует отметить, что понятие коэффициента затухания вводится при условии, что сила трения, действующая на осциллятор, пропорционально скорости Fсопр ~ rV («колебательное» трение). Если закон сопротивления другой, как, например, при колебаниях с сухим трением, то введение β затруднительно. Пусть указанные два параметра ввести можно; тогда можно ввести и их отношения ω0/β0 получим безразмерный параметр, который и называется добротностью. Иногда в частных исследованиях вводят величины, отличающиеся от ω0/β на некоторый постоянный множитель. Но это ничего не меняет.
При указанных условиях уравнение колебаний имеет вид
x" + 2β x' + x = 0 (1)
где ω0 - круговая частота [рад/с], x'-первая производная координаты материальной точки по времени[м/с], x"-вторая производная координаты материальной точки по времени ,x – координата материальная точка [м], β – коэффициент затухания [с-1]
Здесь на осциллятор действует только собственная возвращающая сила
Fв = - x и сила трения Fт = - 2β x', x(t) - любая колеблющаяся физическая величина: смещения частицы от положения устойчивого равновесия, сила тока в колебательном контуре, смещение столбика газа в акустическом резонаторе и т.д. К сожалению, в уравнении (1) нельзя ввести добротность.
Решением уравнения (1) является условие: > β является затухающая гармоника (рисунок. 1)
, (2)
где A – амплитуда колебаний [м], t – время [с], – начальная фаза [рад]
Здесь , а величина может рассматриваться как переменная во времени амплитуда. Пусть τ - время, за которое амплитуда уменьшается в е раз, т.е.
A/a = = , (3)
за это время осциллятор успевает совершить Nе колебаний
Nе = τ /Т = 1/(βТ); Т = 2π/ω.
Введем параметр
= = πNe = , (4)
где Т – период колебаний [с], Q – добротность осциллятора.
Q называется добротностью. Из (4) следует, что добротность в π раз больше числа колебаний, совершаемых за такое время, что амплитуда колебаний уменьшается в е раз.
Рассмотрим убыль энергии осциллятора при затухающих колебаниях (2). Запас механической энергии, е- запас механической энергии(Дж).
=
Отсюда
= = , (5)
где K – жесткость пружины .
Здесь Ео – начальный запас энергии в системе. Продифференцируем (5) по времени и определим скорость убыли энергии осциллятора.
; (6)
где Ео - начальный запас энергии в системе (Дж), .
Будем считать период колебаний Т достаточно малым, таким, что Т ~ dt, что оправдано для высокодобротных колебаний, тогда изменение энергии за период ΔЕ из (6).
; ; (7)
Таким образом, добротность осциллятора в 2π раз больше убыли его энергии за период.
3. Рассмотрим вынужденные колебания осциллятора и пусть внешняя вынуждающая сила F = F0 cos0 ωt будет гармонической. Тогда уравнение (1) преобразуется к виду
x" + 2β x' + x = ; (8)
где f = - амплитуда (приведенная) внешней (вынуждающей) силы, ω – её частота.
Решение уравнения (8) в виде установившихся колебаний (без учета
переходного процесса) имеет вид
х(t) = А соs (ωt + φ), (9)
A(ω) = ; (10)
tg φ = ; (11)
Функция А(ω) - амплитуда установившихся колебаний, она имеет максимум на резонансной частоте.
Добротность осцилляторов.
Обычный колебательный LC контур - 102
Комертоны – 104
Механические (резина) 10 на 100 Гц; 5 на 2*103: 3 на 104 Гц.
Акустические резонаторы - 50
Радиотехнические контуры с частотой ~ 1 МГц – n * 102
Медные резонаторы СВЧ на частотах f > 1 МГц – 3 * 104
Пьезоэлектрические кристаллы (кварц) – 5 * 105
Колебания ядер атомов в эффекте Мессбауэра - 1010
Лазерные колебания (резонатор Фабри - Перо) – 5 * 106
Пульсары (нейтронные замагниченные звезды) - 7,5 * 1012
(Период 0,033с, замедление вращения и частоты следования импульсов
36,52 нс/сутки = 4,23 * 10-13. Период увеличивается в е раз за 2500 лет).
Нахождение добротности осциллятора
Рассмотрим задание на нахождение добротности осциллятора.
Рубиновый лазер излучает на l = 0,58 мкм. Ширина линии изменяется от 4,7 10-2 до 4,7 10-4 Ангстрем (А0). В каких пределах изменяется добротность лазера (резонатора Фабри-Перо).
Решение
Добротность , где w - частота (круговая) излучения, Dw - ширина резонансной кривой на полувысоте:
; ;
Поэтому , l = 0,58 мкм = 5800 А.
Точка совершает затухающие колебания с частотой ω = 25 с-1. Найти коэффициент затухания β и добротность Q, если в начальный момент скорость точки равна 0, а её смещение из положения равновесия в η = 1,020 раза меньше амплитуды.
Решение
Будем исходить из уравнение затухающих колебаний:
;
Введём новую переменную y:
y = η;
;
Отсюда выразим β:
А добротность вычисляется в свою очередь по формуле:
Ответ:
Порядок выполнения эксперимента
Установил угол α наклонного стержня относительно вертикали равный 0º, 30º, 45º, 60º последовательно.
Отклонил колеблющийся стержень на угол φ равный 20º, 30º, 40º последовательно.
С помощью секундомера засёк время t, в течении которого угол отклонения колеблющегося стержня φ уменьшился в 2 раза, т.е. амплитуда уменьшилась в 2 раза. Подсчитал количество колебаний за время t.
С помощью известных формул подсчитал β – коэффициент затухания колебаний, Q – добротность, T – период колебания стержня за время t, ω – частота колебаний стержня, ω0 –собственная частота колебаний стержня, Mтр – момент трения, a – логарифмический декремент затухания.
Измерил m - массу, d - диаметр, r - радиус, h - ширину 2-х гаек, подшипника, колеблющегося стержня и l – длину стержня.