Графики затухающих колебаний
Таблица 2. где α[град] – угол стойки относительно вертикали, φ[град] – угол наклона колеблющегося стержня, t[с] – время уменьшения угла отклонения колеблющегося стержня в 2 раза, β [ ]– коэффициент затухания колебаний, ω – частота колебаний стержня, ω0 –собственная частота колебаний стержня,
φ = 20˚ = 0,349 (рад)
α,рад |
φ,рад |
t,с |
|
β, |
ω, |
ω 0 , |
|
0 |
0,349 |
0 |
0,35 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
0 |
0 |
0,349 |
0,05 |
0,29 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-2,12 |
0 |
0,349 |
0,1 |
0,14 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-3,51 |
0 |
0,349 |
0,15 |
-0,05 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-3,76 |
0 |
0,349 |
0,2 |
-0,21 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-2,83 |
0 |
0,349 |
0,25 |
-0,31 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-1,04 |
0 |
0,349 |
0,3 |
-0,3 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
1,02 |
0 |
0,349 |
0,35 |
-0,2 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
2,696 |
0 |
0,349 |
0,4 |
-0,04 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
3,477 |
0 |
0,349 |
0,45 |
0,13 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
3,146 |
0 |
0,349 |
0,5 |
0,25 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
1,842 |
0 |
0,349 |
0,55 |
0,29 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
0,002 |
Продолжение таблицы 2.
|
|||||||
0 |
0,349 |
0,6 |
0,24 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-1,78 |
0 |
0,349 |
0,65 |
0,12 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-2,95 |
0 |
0,349 |
0,7 |
-0,04 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-3,16 |
0 |
0,349 |
0,75 |
-0,18 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-2,38 |
0 |
0,349 |
0,8 |
-0,26 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-0,87 |
0 |
0,349 |
0,85 |
-0,26 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
0,857 |
0 |
0,349 |
0,9 |
-0,17 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
2,266 |
0 |
0,349 |
0,95 |
-0,04 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
2,924 |
0 |
0,349 |
1 |
0,11 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
2,646 |
0 |
0,349 |
1,05 |
0,21 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
1,55 |
0 |
0,349 |
1,1 |
0,25 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
0,003 |
0 |
0,349 |
1,15 |
0,2 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-1,5 |
0 |
0,349 |
1,2 |
0,1 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-2,48 |
0 |
0,349 |
1,25 |
-0,03 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-2,66 |
0 |
0,349 |
1,3 |
-0,15 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-2 |
0 |
0,349 |
1,35 |
-0,22 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-0,74 |
0 |
0,349 |
1,4 |
-0,22 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
0,719 |
0 |
0,349 |
1,45 |
-0,14 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
1,905 |
0 |
0,349 |
1,5 |
-0,03 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
2,459 |
0 |
0,349 |
1,55 |
0,09 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
2,226 |
0 |
0,349 |
1,6 |
0,18 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
1,305 |
0 |
0,349 |
1,65 |
0,21 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
0,004 |
0 |
0,349 |
1,7 |
0,17 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-1,26 |
0 |
0,349 |
1,75 |
0,08 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-2,09 |
0 |
0,349 |
1,8 |
-0,03 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-2,24 |
0 |
0,349 |
1,85 |
-0,13 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-1,68 |
0 |
0,349 |
1,9 |
-0,18 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-0,62 |
0 |
0,349 |
1,95 |
-0,18 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
0,603 |
0 |
0,349 |
2 |
-0,12 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
1,601 |
0 |
0,349 |
2,05 |
-0,03 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
2,067 |
0 |
0,349 |
2,1 |
0,07 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
1,872 |
0 |
0,349 |
2,15 |
0,15 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
1,098 |
0 |
0,349 |
2,2 |
0,17 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
0,004 |
0 |
0,349 |
2,25 |
0,14 |
0,315 |
11,42 |
11,418 |
-1,06 |
Рисунок.1.
График затухающих колебаний, где φ
– угол наклона
колеблющегося стержня, t–
время уменьшения угла отклонения
колеблющегося стержня в 2 раза .От
функций
;
Рисунок
2. График затухающих колебаний, где ω –
частота колебаний стержня , t–
время уменьшения угла отклонения
колеблющегося стержня в 2 раза .От функции
;
Рисунок 3. График затухающих колебаний, где ω – частота колебаний стержня , φ – угол наклона колеблющегося стержня. От функций ;
;
Таблица 3. Где α[град] – угол стойки относительно вертикали, φ[град] – угол наклона колеблющегося стержня, t[с] – время уменьшения угла отклонения колеблющегося стержня в 2 раза, β [ ]– коэффициент затухания колебаний, ω – частота колебаний стержня, ω0 –собственная частота колебаний стержня.
φ = 30˚ = 0,523 (рад)
α,рад |
φ,рад |
t,с |
|
β, |
ω, |
ω 0 , |
|
0 |
0,523 |
0 |
0,523 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
0 |
0 |
0,523 |
0,05 |
0,431453 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-3,23885 |
0 |
0,523 |
0,1 |
0,202079 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-5,34383 |
0 |
0,523 |
0,15 |
-0,08713 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-5,65987 |
0 |
0,523 |
0,2 |
-0,34074 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-4,12955 |
0 |
0,523 |
0,25 |
-0,47725 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-1,29658 |
0 |
0,523 |
0,3 |
-0,4553 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
1,885925 |
0 |
0,523 |
0,35 |
-0,28602 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
4,375425 |
0 |
0,523 |
0,4 |
-0,02812 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
5,38082 |
0 |
0,523 |
0,45 |
0,232404 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
4,613059 |
Продолжение таблицы 3. |
|||||||
0 |
0,523 |
0,5 |
0,410852 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
2,366335 |
0 |
0,523 |
0,55 |
0,45134 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-0,59221 |
0 |
0,523 |
0,6 |
0,344206 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-3,28362 |
0 |
0,523 |
0,65 |
0,127977 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-4,84046 |
0 |
0,523 |
0,7 |
-0,12435 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-4,78571 |
0 |
0,523 |
0,75 |
-0,32992 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-3,1779 |
0 |
0,523 |
0,8 |
-0,42312 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-0,57852 |
0 |
0,523 |
0,85 |
-0,37654 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
2,143079 |
0 |
0,523 |
0,9 |
-0,20883 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
4,099791 |
0 |
0,523 |
0,95 |
0,022472 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
4,675395 |
0 |
0,523 |
1 |
0,240628 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
3,717834 |
0 |
0,523 |
1,05 |
0,375111 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
1,576886 |
0 |
0,523 |
1,1 |
0,384356 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-1,02214 |
0 |
0,523 |
1,15 |
0,268524 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-3,22347 |
0 |
0,523 |
1,2 |
0,0684 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-4,32215 |
0 |
0,523 |
1,25 |
-0,14888 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-3,98918 |
0 |
0,523 |
1,3 |
-0,31231 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-2,3689 |
0 |
0,523 |
1,35 |
-0,37017 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-0,02013 |
0 |
0,523 |
1,4 |
-0,30633 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
2,27581 |
0 |
0,523 |
1,45 |
-0,14461 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
3,774517 |
0 |
0,523 |
1,5 |
0,060001 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
4,009342 |
0 |
0,523 |
1,55 |
0,239949 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
2,935958 |
0 |
0,523 |
1,6 |
0,337411 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
0,936075 |
0 |
0,523 |
1,65 |
0,322815 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-1,31731 |
0 |
0,523 |
1,7 |
0,203734 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-3,08586 |
0 |
0,523 |
1,75 |
0,021488 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-3,80739 |
0 |
0,523 |
1,8 |
-0,16313 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-3,27401 |
0 |
0,523 |
1,85 |
-0,2901 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-1,69068 |
0 |
0,523 |
1,9 |
-0,31963 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
0,401786 |
0 |
0,523 |
1,95 |
-0,24459 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
2,310859 |
0 |
0,523 |
2 |
-0,09201 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
3,421089 |
0 |
0,523 |
2,05 |
0,086603 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
3,392054 |
0 |
0,523 |
2,1 |
0,232573 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
2,26198 |
0 |
0,523 |
2,15 |
0,29931 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
0,425755 |
0 |
0,523 |
2,2 |
0,267142 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-1,50235 |
Продолжение таблицы 3. |
|||||||
0 |
0,523 |
2,25 |
0,149017 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-2,89374 |
0 |
0,523 |
2,3 |
-0,01453 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-3,31005 |
0 |
0,523 |
2,35 |
-0,16922 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-2,6407 |
0 |
0,523 |
2,4 |
-0,26503 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
-1,13054 |
0 |
0,523 |
2,45 |
-0,27234 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
0,708661 |
0 |
0,523 |
2,5 |
-0,19101 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
2,271195 |
0 |
0,523 |
2,55 |
-0,04969 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
3,05653 |
0 |
0,523 |
2,6 |
0,104199 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
2,829223 |
0 |
0,523 |
2,65 |
0,220353 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
1,688701 |
0 |
0,523 |
2,7 |
0,261998 |
0,256 |
11,632 |
11,418 |
0,028499 |
Рисунок 4. График затухающих колебаний, где φ – угол наклона колеблющегося стержня, t– время уменьшения угла отклонения колеблющегося стержня в 2 раза .От функций ;
Рисунок 5. График затухающих колебаний, где ω – частота колебаний стержня , t– время уменьшения угла отклонения колеблющегося стержня в 2 раза .От функции ;
Рисунок 3. График затухающих колебаний, где ω – частота колебаний стержня , φ – угол наклона колеблющегося стержня. От функций ;
;
Построим спектры колебаний с помощью формул:
Спектр
затухающей гармоники f(t)
=
sin(ω1t)
является сплошным и имеет вид:
Амплитудный спектр:
;
Фазовый спектр находится по формуле:
.
Таблица 4. Где β [ ]– коэффициент затухания колебаний, ω – частота колебаний стержня, ω0 –собственная частота колебаний стержня, F(ω)-амплитудный спектр, Ψ(ω)-фазовый спектр, F1(ω)-спектр затухающей гармоники, F2(ω)- спектр затухающей гармоники.
F1(ω) |
F2(ω) |
β, |
ω, |
ω0, |
F(ω) |
Ψ(ω) |
182,2712 |
0,012073928 |
0,315 |
11,42 |
11,423 |
182,2712 |
6,62415E-05 |
259,0254 |
0,006515526 |
0,256 |
11,63 |
11,632 |
259,0254 |
2,5154E-05 |
996,1576 |
0,004314607 |
0,223 |
12,155 |
12,157 |
996,1576 |
4,33125E-06 |
-512,722 |
0,002671824 |
0,19 |
12,68 |
12,682 |
512,7215 |
-5,21106E-06 |
-182,4 |
0,001508586 |
0,157 |
13,205 |
13,207 |
182,4 |
-8,27076E-06 |
-93,409 |
0,000743601 |
0,124 |
13,73 |
13,732 |
93,40897 |
-7,9607E-06 |
-47,7004 |
0,000294014 |
0,091 |
14,255 |
14,257 |
47,70038 |
-6,16378E-06 |
-19,5259 |
7,61833E-05 |
0,058 |
14,78 |
14,782 |
19,52588 |
-3,90166E-06 |
-3,75546 |
6,13275E-06 |
0,025 |
15,305 |
15,307 |
3,755458 |
-1,63302E-06 |
-0,41984 |
-2,1216E-07 |
-0,008 |
15,83 |
15,832 |
0,419839 |
5,05336E-07 |
-10,7636 |
-2,69431E-05 |
-0,041 |
16,355 |
16,357 |
10,76363 |
2,50316E-06 |
-36,6281 |
-0,000158148 |
-0,074 |
16,88 |
16,882 |
36,62805 |
4,31768E-06 |
-83,2038 |
-0,000477871 |
-0,107 |
17,405 |
17,407 |
83,20383 |
5,74338E-06 |
-169,702 |
-0,001069967 |
-0,14 |
17,93 |
17,932 |
169,7023 |
6,30497E-06 |
-390,308 |
-0,002017772 |
-0,173 |
18,455 |
18,457 |
390,3078 |
5,16969E-06 |
Продолжение таблицы 4. |
||||||
-3159,89 |
-0,003403499 |
-0,206 |
18,98 |
18,982 |
3159,885 |
1,0771E-06 |
688,0094 |
-0,005307302 |
-0,239 |
19,505 |
19,507 |
688,0094 |
-7,714E-06 |
332,7367 |
-0,007805916 |
-0,272 |
20,03 |
20,032 |
332,7367 |
-2,34597E-05 |
224,1522 |
-0,010970853 |
-0,305 |
20,555 |
20,557 |
224,1522 |
-4,89438E-05 |
Рисунок 6.Косинусный спектр затухающего колебания, где F1(ω)-спектр затухающей гармоники, ω – частота колебаний стержня.
Рисунок 7.Синусный спектр затухающего колебания , где F1(ω)-спектр затухающей гармоники, ω – частота колебаний стержня.
Рисунок 8. Амплитудный спектр затухающего колебания, где F(ω)-амплитудный спектр, ω – частота колебаний стержня.
Рисунок 9. Фазовый спектр затухающего колебания, где Ψ(ω)-фазовый спектр, ω – частота колебаний стержня.
Расчётные формулы:
Период будет находиться из формулы:
;
;
φ = Фe-βt;
;
;
(с-1);
Найдём добротность:
;
;
Вычислим собственную частоту:
;
ω 0 ≈ ω » β;
Выводы
Неточные измерения проводимые во время эксперимента стали результатом того, что расчётная часть не сошлась с проверочной частью, где собственная частота ω0эксп (экспериментальное) значительно отличалось от собственной частоты ω0 при проверке в 4-5 раз. Измерения проводились с помощью: школьной линейки, электронных весов, шкалы измерения угла отклонения колеблющегося стержня, секундомера. Из расчетов видно, что собственная частота ω0 ≈ ω » β это и даёт нам диаграмму затухающих колебаний которые можно видеть на рисунках. При измени α угла отклонения стержня, собственная частота маятника уменьшалась, чем меньше угол отклонения колеблющегося стержня α, тем больше коэффициент затухания β, чем больше угол отклонения стержня α, тем меньше происходит колебаний, чем больше угол отклонения колеблющегося стержня φ, тем больше период T, добротность Q и момент трения Mтр. Для более точного измерения периода T, времени t, массы m, угла отклонения стержня α, угла отклонения колеблющегося стержня φ, необходима специальная аппаратура сопряжённая с компьютером, это намного упростит задачу выполнения лабораторных работ с данным прибором, а именно: оптический метод измерения; магнитное наведение ЭДС изменяет амплитуду.
Данный прибор может использоваться на Л/А(летательном аппарате) для фиксирования данных вибрации корпуса Л/А, вибрации в полёте составных частей Л/А, вибрации при посадке превышающие перпендикулярное ускорение, в качестве датчика превышения вибрации аппаратуры, может быть использован для оцентровки топлива в Л/А.