9

Электромагнетизм

Глава 2. Электростатика в веществе.

2.6. Энергия электрического поля.

Энергетический подход к рассмотрению взаимодействия электрических зарядов с одной стороны является весьма плодотворным по своим практическим применениям, а с другой, позволяет по-иному взглянуть на само электрическое поле как физическую реальность.

1. Энергия системы зарядов.

При элементарном перемещении электрических зарядов силы кулоновского взаимодействия совершают работу: , т.е. работа, производимая полем над электрическим зарядом, равна убыли потенциальной энергии этого заряда в рассматриваемом поле. Любое электростатическое поле можно рассматривать как суперпозицию полей, создаваемых какой-либо системой неподвижных точечных зарядов. Поэтому сказанное следует понимать так, что сама система электрических зарядов обладает потенциальной энергией, которая может изменяться при изменении конфигурации системы.

Для того, чтобы прийти к понятию энергии взаимодействия зарядов, рассмотрим сначала систему, состоящую из двух точечных зарядов 1 и 2. Найдем энергию взаимодействия зарядов двумя симметричными способами.

Пусть имеется неподвижный точечный заряд , создающий в окружающем пространстве электрическое поле. Перенесем заряд из бесконечности (где мы как обычно полагаем потенциал равным нулю) в точку с потенциалом , отстоящую на расстояние от первого заряда. Затем проделаем то же самое с первым зарядом, предварительно зафиксировав положение заряда 2. Поскольку кулоновское поле – потенциальное, то совершаемые работы (в данном случае работы против сил поля) будут равны

. (6.1)

Итак, получаем

, (6.2)

где энергия взаимодействия точечных зарядов 1 и 2.

Энергию можно представить в симметричной относительно обоих зарядов записи:

. (6.3)

Тогда потенциальная энергия системы электрических зарядов может быть записана в виде:

, (6.4)

где потенциал, создаваемый всеми остальными зарядами системы в точке, где находится ый заряд.

В случае непрерывного распределения зарядов эти формулы нетрудно обобщить, имея в виду наличие объемных и поверхностных зарядов: :

(6.5)

где потенциал поля, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом или на поверхности . Интегрирование может идти по нескольким областям. Хотя здесь речь шла только о сторонних (свободных) зарядах, формула (6.5) справедлива для любых зарядов.

Примеры:

а) Энергия уединенного проводника. Как обычно полагаем, что потенциал незаряженного проводника равен нулю ( ). Зарядим проводник, перенося на него заряд бесконечно малыми порциями , до значения . Сосчитаем работу, затраченную на сообщение проводнику заряда , т.е. его потенциальную энергию (потенциальную энергию взаимодействия находящихся на проводнике электрических зарядов). Сообщая проводнику заряд, мы изменяем его потенциал. Потенциал уединенного проводника в каждый момент определяется соотношением , поэтому приращение его потенциальной энергии при увеличении заряда проводника на составляет величину

.

Тогда потенциальная энергия уединенного проводника, заряженного до значения , равна

,

или, учитывая связь между зарядом, потенциалом и емкостью проводника, можем записать

. (6.6)

б) Энергия конденсатора. Конденсатор – устройство, позволяющее накапливать электрическую энергию. Заряд конденсатора осуществляется путем переноса заряда от одной пластины к другой. При этом под зарядом конденсатора мы понимаем абсолютное значение заряда , находящегося на одной из его пластин (обкладок).

Если положить в выражении (6.6)

,

где и потенциалы обкладок, и использовать формулу (5.5) для электроемкости воздушного ( ) плоского конденсатора:

,

считая поле в конденсаторе однородным, т.е. , получаем

, (6.7)

Соотношение (6.7) очень важно – оно определяет энергию конденсатора как энергию электрического поля , заключенного в пространстве между его обкладками. Наряду с энергией можно ввести плотность энергии электрического поля конденсатора:

. (6.8)