7

Электромагнетизм

Глава 2. Электростатика в веществе.

2.8. Микроскопическая теория поляризации диэлектриков.

Стоящая перед нами задача заключается в нахождении связи между диэлектрической проницаемостью , характеризующей макроскопические свойства диэлектрика, и индивидуальными характеристиками молекулы вещества, определяющими её отклик на внешнее воздействие.

Для диэлектриков, состоящих из полярных и неполярных молекул механизмы поляризации различны. Начнем рассмотрение с неполярных диэлектриков. Проведем количественное описание поляризации диэлектриков, представляя рассматриваемый процесс как относительное смещение электронов и атомных ядер.

2.8.1. Неполярные диэлектрики.

Собственный дипольный момент неполярной молекулы в отсутствии внешнего электрического поля равен нулю - . Как уже было отмечено выше, это справедливо для симметричных молекул: . Внешнее поле вызывает смещение электронных оболочек относительно ядер, которое приводит к появлению у молекулы наведенного дипольного момента , величина которого зависит от напряженности приложенного поля. Определяя вид этой зависимости, примем во внимание, что внешние поля, как правило, значительно меньше внутренних полей, поэтому и наведенные дипольные моменты молекул малы. Так, электрическое поле, создаваемое ядром на боровском радиусе электрона в атоме водорода (радиус ближайшей к протону электронной орбиты, определяемый соотношением ), равно

. (в СИ: )

Для сравнения, электрическое поле пробоя в сухом воздухе .

Очевидно, что при таких соотношениях внутриатомного и внешнего поля смещение зарядов, вызванное внешним полем, ничтожно. Поэтому можно считать, что индуцированный дипольный момент молекулы линейно зависит от напряженности поля , где поле, создаваемое в месте нахождения этой молекулы всеми зарядами и диполями за исключением рассматриваемой молекулы.

Если молекула сферически симметрична, то можно написать

. (8.1)

Здесь - поляризуемость молекулы (величина, постоянная для данной молекулы).

Примеры .

Величину можно оценить, рассматривая молекулу как проводящий шарик радиусом . Во внешнем однородном поле такой шарик приобретает дипольный момент , пропорциональный объему:

Тогда из (8.1) получаем

.

Для атома водорода (модель = электронное облако, в центре которого находится положительный точечный заряд), находящегося в основном (невозбужденном) состоянии, квантовомеханический расчет приводит к результату:

.

Примечание: если молекула не обладает сферической симметрией, то направления векторов и могут не совпадать, однако линейная связь между компонентами этих векторов сохраняется, т.е.

.

В декартовой системе координат и девять величин , зависящих от строения молекулы и её ориентации относительно координатных осей, образуют тензор поляризуемости молекулы, причем .

Перейдем теперь от рассмотрения отдельной молекулы к исследованию макроскопического тела, состоящего из неполярных (т.е. сферически симметричных) молекул.

Сначала, для простоты, рассмотрим газ таких молекул (газ, в котором отсутствуют свободные заряды, т.е. не ионизованный, не проводит электрический ток, и, следовательно, является диэлектриком).

Газообразные диэлектрики.

Поскольку в газе расстояния между соседними молекулами велики по сравнению с размерами последних,

поле , действующее на каждую молекулу газа, примерно совпадает со средним макроскопическим полем внутри диэлектрика ,

. (8.2)

В этом случае вектор поляризации определяется как

. (8.3)

где концентрация молекул, диэлектрическая восприимчивость (поляризуемость единицы объема диэлектрика), дипольный момент молекулы. Тогда для диэлектрической проницаемости достаточно разреженного газа получаем

. (8.4)

Поляризуемость неполярной молекулы является молекулярной константой, зависящей только от внутреннего строения молекулы. Поэтому диэлектрическая проницаемость газа при обычных условиях (не слишком высокие температуры, вызывающие, например, диссоциацию молекул) не зависит от температуры , поскольку энергии теплового движения недостаточно, чтобы перевести молекулы в возбужденные состояния, а является только функцией концентрации молекул газа. Следовательно, величина , как и следует из (8.4), должна быть пропорциональна плотности газа.

Жидкие и твердотельные диэлектрики.

В плотных диэлектриках условие не выполняется, где по-прежнему, поле, действующее на молекулу диэлектрика, и среднее макроскопическое поле внутри диэлектрика. Более того, при близком расположении молекул поле заметно меняется на протяжении одной молекулы, т.е. неоднородно. Поэтому теоретическое описание поведения жидких и твердых тел сопряжено с большими трудностями.

В простейшем способе приближенного определения действующего поля , предложенном Лоренцем, пренебрегают линейными размерами молекул, считая их «точечными». Тогда действующее поле относят к центру молекулы, а его изменениями в пределах молекулы пренебрегают.

Вычисление поля проводится следующим способом. Окружим молекулу диэлектрика вспомогательной физически бесконечно малой сферой с центром, совпадающим с центром молекулы. Интересующее нас поле мы будем искать как поле в центре сферы , которое создается всеми зарядами за исключением зарядов самой рассматриваемой молекулы. Поле можно представить как суперпозицию полей:

, (8.5)

где «внешнее» поле, создаваемое всеми зарядами, расположенными вне физически бесконечно малой сферы , и «внутреннее» поле, создаваемое зарядами, находящимися внутри сферы за исключением заряда самой молекулы,

Мысленно удалим вспомогательную сферу из диэлектрика.

До удаления сферы поле в равномерно поляризованном диэлектрике однородно и равно . Поскольку вспомогательная сфера физически бесконечно мала, то поляризацию диэлектрика в её окрестности можно считать однородной. Тогда после удаления сферы поле получается вычитанием поля равномерно поляризованной сферы из средней напряженности макрополя в диэлектрике :

.

Теперь поле, отнесенное к центру молекулы, находится как

.

Для диэлектрических кристаллов, в которых расположение атомов имеет кубическую симметрию, жидкостей и плотных газов, , поэтому

. (8.6)

Поскольку дипольный момент молекулы определяется величиной и направлением вектора , то вектор поляризации , в соответствии с (8.1), равен

, или, учитывая , (8.7)

откуда, используя (8.6), получаем

, (8.8)

и далее, поскольку вектор поляризации пропорционален полю ,

и ,

можем записать

. (8.9)

Из (8.9) легко можно получить следующее соотношение:

, (8.10)

называемое формулой Клаузиуса-Мосотти.

Полученное соотношение, хотя и имеет ограниченное применение, лучше согласуется с опытом для жидких и газообразных диэлектриков, а также высокосимметричных кристаллов с неполярными молекулами, чем (8.4).

2.8.2. Полярные диэлектрики.

Как уже было сказано выше, полярными называются диэлектрики, молекулы которых в отсутствие внешнего поля имеют отличный от нуля электрический дипольный момент. К таким молекулам относятся, например, , молекулы спиртов, эфиров и т.д. Собственные дипольные моменты полярных молекул имеют порядок величины . Поэтому индуцированными внешним полем дипольными моментами молекул, имеющими порядок величины , в первом приближении можно пренебречь и считать, что поляризация диэлектрика обусловлена лишь поворотами осей диполей молекул во внешнем электрическом поле.

Здесь мы ограничимся рассмотрением только газообразных диэлектриков, т.е. случаем, когда действующее на отдельную молекулу поле можно отождествить со средним макроскопическим полем в диэлектрике .

Для описания поляризации диэлектрика введем функцию распределения диполей по направлениям в пространстве .

Если концентрация молекул в диэлектрике, то величина

(8.11)

определяет среднее число диполей в единице объема, оси которых лежат в пределах телесного угла . Единичный вектор указывает направление оси элемента телесного угла .

Если внешнее поле выключено, то в состоянии термодинамического равновесия все направления дипольных моментов полярных молекул равновероятны и диэлектрик не поляризован ( ), а функция имеет одинаковые значения по всем направлениям.

Включим поле , направив его вдоль оси z.

Во внешнем электрическом поле полярная молекула с

дипольным моментом обладает потенциальной энергией

. (8.12)

Поэтому в состоянии термодинамического равновесия

пространственная ориентация дипольных моментов молекул должна

подчиняться распределению Больцмана:

. (8.13)

Найдем поляризованность газа полярных молекул в приближении слабых электрических полей (которое обычно и реализуется):

.

Разложим (8.13) в ряд по малому параметру :

. (8.14)

Постоянную определим из условия нормировки:

,

где предполагается интегрирование по всем направлениям в пространстве ( ):

Интеграл по углу равен нулю:

Физически это ясно, т.к. проекция принимает одинаково часто положительные и отрицательные значения.

Поэтому нормировочная постоянная равна

. (8.15)

Тогда функция распределения дипольных моментов полярных молекул по направлениям в пространстве принимает вид:

. (8.16)

Очевидно, что вектор поляризации будет направлен вдоль вектора , т.е. параллелен оси . Проекция дипольного момента молекулы на ось равна .

Тогда вклад в вектор поляризации от диполей, заключенных в телесном угле :

, (8.17)

Отсюда, интегрируя по всему пространству, получаем

.

Первый интеграл, как мы уже выяснили, равен нулю, что является следствием изотропности пространства, т.е.

.

Второй интеграл равен

,

Теперь для вектора поляризованности окончательно получаем

, (8.18)

и, по-прежнему,

,

откуда находим поляризуемость (точнее, её ориентационную составляющую):

(8.19)

Соответствующая диэлектрическая проницаемость:

. (8.20)

Примечание.

1. Полученные результаты справедливы и в квантовой физике, до тех пор, пока справедлива статистика Больцмана.

2. Следующая поправка к диэлектрической проницаемости появляется не во втором, а в третьем порядке по параметру , т.к. интегрирование по углу во втором порядке (и в следующих четных порядках) дает нуль.

Как мы уже отмечали, полярные молекулы во внешнем поле не только ориентируют в пространстве собственные дипольные моменты, но и деформируются, приобретая индуцированные дипольные моменты. Если теперь учесть деформационную поправку к дипольному моменту, вклад которой в диэлектрическую проницаемость равен , то получим

. (8.21)

Деформационная составляющая диэлектрической проницаемости

не зависит от температуры, а ориентационная часть, как мы видим,

.

Если по данным эксперимента построить зависимость

(8.22)

(см. рисунок), то по длине отрезка, отсекаемого на оси ординат ( ), можно найти поляризуемость молекулы , а по наклону зависимости (8.22) определить дипольный момент молекулы.

Посмотрим, наконец, как выполняется условие

.

Пусть молекула диэлектрика имеет собственный дипольный момент при температуре . Тогда находим, что использованное приближение применимо в полях:

,

что значительно превышает напряженность поля электрического пробоя, например, сухого воздуха.