1. Понятие о числе

Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры.

Арифметические действия над действительными числами.

-----------------------------

Приближенные вычисления

При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая, следующая за этим разрядом, цифра больше или равна пяти, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая, следующая за этим разрядом, цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.

2. Степень с рациональным показателем, степень с целым показателем. Определения и свойства.

-----------------------

3. Арифметический корень n-степени.

Арифметический корень n-ой степени (n > 0) из числа a — это такое число b, что bⁿ = a. В поле действительных чисел корень может иметь до двух решений или ни одного, если это корень чётной степени из отрицательного числа. В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. Обозначается символом  .

Свойства:

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

4. Логарифм числа.

Логари́фм числа b по основанию a - определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение:  . Из определения следует, что записи   и   равносильны.

Десятичные и натуральные логарифмы.

---------------------------------------------------------------------------

5. Радианная мера угла.

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.

Вращательное движение.

Вращательное движение — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Основные тригонометрические тождества.

• sin² α + cos² α = 1

• tg α · ctg α = 1

• tg α = sin α ÷ cos α

• ctg α = cos α ÷ sin α

• 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α

• 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Формулы приведения

7. Синус, косинус, тангенс суммы и разности двух углов.

Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение синуса второго угла на косинус первого.

Например,

sin 105° = sin (60° + 45°) = sin 60° • cos 45° + + sin45°.cos60° =

 

Тангенс разности двух углов равен разности тангенсов этих углов, деленной на единицу плюс произведение тангенсов этих углов.

Пример 1.

8. Синус и косинус двойного угла.

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса данного угла на его косинус.

sin(2α)₌ 2·sin(α)·cos(α)

9. Понятие арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса числа.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

10. Решение уравнений sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a. Частные случаи.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

11. Понятие функции.

числовая функция — это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества вещественных чисел

Способ задания функции.

• табличный Состоит в простом перечислении элементов функции f, т.е. при этом способе указывается значение аргумента x и соответствующе значение функции y=f(x)

Достоинства: точность, быстрота, по таблице значений легко найти нужное значение функции.

Недостатки: неполнота, отсутствие наглядности.

• аналитический (формулы) Является наиболее важным для МА (мат.анализа), поскольку методы МА (дифференциального, интегрального счисления) предполагают этот способ задания.

• графический Область определения -- проекция данного графика на Ох, а множество значений -- проекция Д(f) на Оу. Применяется в медицине, технике.

Достоинство: наглядность.

Недостаток: неточность.

• словестный Отношение f, по которому каждому х находящееся соответствие у описывается словесно. Например, y=[x] : x из R (Целой частью х из R называют любое целое число не превосходящее х).

Достоинство: можно воспользоваться когда первые три не срабатывают.

Недостаток: ненаглядность.

График функции.

График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты — соответствующими значениями функции y.

Обычно рассматриваются графики вещественных скалярных функций одного вещественного переменного  , которые являются множеством точек плоскости  .

В общем случае, график функции (оператора)   есть множество

Пример:

• График функции

это множество из трёх точек {(1,a), (2,d), (3,c)}.

Свойства функции.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция -неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы)