9) Минимальный элемент матрицы тарифов находится в ячейке a4b5 и равен 0, т.Е. Из незадействованных маршрутов, маршрут доставки продукции от поставщика a4 к потребителю b5 наиболее рентабельный.

Запасы поставщика A4 составляют 17 единиц продукции. Потребность потребителя B5 составляет 17 единиц продукции. От поставщика A4 к потребителю B5 будем доставлять 17 единиц продукции.

Разместим в ячейку A4B5 значение равное 17.

Поставщик	Потребитель					Запас
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	4	3	5	3	40 0		40
А2	4	3	4	16 2	4 0		20
А3	21 2	4	9 2	5	0		30
А4	5	31 2	2 2	4	17 0		50
Потребность	21	31	11	16	61

количество базисных ячеек (задействованных маршрутов) должно равняться m + n - 1, где

m - количество строк в таблице, n - количество столбцов в таблице.

Количество базисных ячеек (задействованных маршрутов) равно 8, что и требовалось.

S0 = 0 * 40 2 * 16 0 * 4 2 * 21 2 * 9 2 * 31 2 * 2 0 * 17 = 158 ден. ед.

Общие затраты на доставку всей продукции, для начального решения, составляют 158 ден. ед.

ПРОИЗВЕДЕМ ОЦЕНКУ ПОЛУЧЕННОГО РЕШЕНИЯ.

Ui - число, называемое потенциалом поставщика.

Vj -число, называемое потенциалом потребителя.

Сумма потенциалов поставщика и потребителя должна быть равна тарифу данного маршрута.

(ui + vj = cij, где cij - тариф клетки AiBj) Примем v5 = 0.

v5 + u1 = c15 v5 + u1 = 0 u1 = 0 - 0 = 0; v2 + u4 = c42 v2 + u4 = 2 v2 = 2 - 0 = 2

v5 + u2 = c25 v5 + u2 = 0 u2 = 0 - 0 = 0; v3 + u4 = c43 v3 + u4 = 2 v3 = 2 - 0 = 2

v5 + u4 = c45 v5 + u4 = 0 u4 = 0 - 0 = 0; v3 + u3 = c33 v3 + u3 = 2 u3 = 2 - 2 = 0

v4 + u2 = c24 v4 + u2 = 2 v4 = 2 - 0 = 2; v1 + u3 = c31 v1 + u3 = 2 v1 = 2 - 0 = 2

Поставщик	Потребитель					U j
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	4	3	5	3	40 0		U 1 = 0
А2	4	3	4	16 2	4 0		U 2 = 0
А3	21 2	4	9 2	5	0		U 3 = 0
А4	5	31 2	2 2	4	17 0		U 4 = 0
V i	V 1 = 2	V 2 = 2	V 3 = 2	V 4 = 2	V 5 = 0

Найдем оценки свободных ячеек следующим образом (в таблице они располагаются в нижнем левом углу ячейки):

∆11 = c11 - ( u1 + v1 ) = 4 - ( 0 + 2 ) = 2 ∆ 23 = c23 - ( u2 + v3 ) = 4 - ( 0 + 2 ) = 2

∆12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 3 - ( 0 + 2 ) = 1 ∆ 32 = c32 - ( u3 + v2 ) = 4 - ( 0 + 2 ) = 2

∆13 = c13 - ( u1 + v3 ) = 5 - ( 0 + 2 ) = 3 ∆ 34 = c34 - ( u3 + v4 ) = 5 - ( 0 + 2 ) = 3

∆14 = c14 - ( u1 + v4 ) = 3 - ( 0 + 2 ) = 1 ∆ 35 = c35 - ( u3 + v5 ) = 0 - ( 0 + 0 ) = 0

∆21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 4 - ( 0 + 2 ) = 2 ∆ 41 = c41 - ( u4 + v1 ) = 5 - ( 0 + 2 ) = 3

∆22 = c22 - ( u2 + v2 ) = 3 - ( 0 + 2 ) = 1 ∆ 44 = c44 - ( u4 + v4 ) = 4 - ( 0 + 2 ) = 2

Поставщик	Потребитель						U j
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	2 4	1 3	3 5	1 3	40 0	U 1 = 0
А2	2 4	1 3	2 4	16 2	4 0	U 2 = 0
А3	21 2	2 4	9 2	3 5	0 0	U 3 = 0
А4	3 5	31 2	2 2	2 4	17 0	U 4 = 0
V i	V 1 = 2	V 2 = 2	V 3 = 2	V 4 = 2	V 5 = 0

Все оценки свободных ячеек неотрицательные, следовательно, найдено оптимальное решение.

Ответ:

X 1 опт = 0 0 0 0 40

0 0 0 16 4

21 0 9 0 0

0 31 2 0 17

Smin = 0 * 40 + 2 * 16 + 0 * 4 + 2 * 21 + 2 * 9 + 2 * 31 + 2 * 2 + 0 * 17 = 158

Общие затраты на доставку всей продукции, для оптимального решения, составляют 158 ден. ед.

Задача имеет не единственное решение, т.к. среди оценок свободных ячеек присутствуют оценки равные нулю.

Построим цикл для ячейки A3B5.

Пусть ячейка A3B5, для которой мы строили цикл, имеет порядковый номер один.

Поставщик	Потребитель					Запас
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	4	3	5	3	40 0		40
А2	4	3	4	16 2	4 0		20
А3	21 2	4	9 2	5	0 0		30
А4	5	31 2	2 2	4	17 0		50
Потребность	21	31	11	16	61

Среди ячеек цикла A3B3 , A4B5 , номера которых четные, найдем ячейку, обладающую наименьшим значением. min = {9, 17} = 9

Поставщик	Потребитель					Запас
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	4	3	5	3	40 0		40
А2	4	3	4	16 2	4 0		20
А3	21 2	4	9 2	5	0 0		30
А4	5	31 2	2 2	4	17 0		50
Потребность	21	31	11	16	61

Общие затраты на доставку всей продукции, по-прежнему, составляют

S0 = 158 + 35 * 9 = 158 + 0 * 9 = 158 ден. ед.

Поставщик	Потребитель					Запас
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	4	3	5	3	40 0	40
А2	4	3	4	16 2	4 0	20
А3	21 2	4	9 – 9 2	5	0 + 9 0	30
А4	5	31 2	2 + 2 2	4	17 - 9 0	50
Потребность	21	31	11	16	61

X 2 опт = 0 0 0 0 40

0 0 0 16 4

21 0 0 0 9

0 31 11 0 8

Задание 1. Решить задачу линейного программирования симплексным методом max (3*x1+2*x2-x3+x4)

X1+4*x2 + 2*4x<=90

2*x1-3*x2 – x3 + 3*x4<=20

x2 +2*x3 - x4<=50

Х(j) >=0

Найдем наибольшее значение линейной функции

L = 3 x1 + 2 x2 -3 x3 + 4 x4

К левой части неравенства 1 системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x5 - преобразуем неравенство 1 в равенство.

К левой части неравенства 2 системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x6 - преобразуем неравенство 2 в равенство.

К левой части неравенства 3 системы ограничений прибавляем неотрицательную переменную x7 - преобразуем неравенство 3 в равенство.

X1+4*x2 + 2*4x + x5 =90

2*x1-3*x2 – x3 + 3*x4 + x6 =20

x2 +2*x3 - x4< + x7 =50

Система ограничений приведена к каноническому виду.

x5 - базисная переменная;

x6 - базисная переменная;

x7 - базисная переменная.

Примем свободные переменные равные нулю, получим начальное опорное решение.

X нач = (0 , 0 , 0 , 0 , 90 , 20 , 50)

L = 3 x1 + 2 x2 -3 x3 + 4 x4

Функция L не содержат базисных переменных.

Значение функции L для начального решения: L (X нач) = 0

1. Так как -4 наименьший элемент в L строке - столбец 4 ведущий. За ведущую выберем строку 2.

базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	свободные члены	отношение
Х5	1	4	0	2	1	0	0	90	45
Х6	2	-3	-3	3	0	1	0	20	20/3
Х7	0	1	2	-1	0	0	1	50	-
L	-3	-2	3	-4	0	0	0	0	-

Разделим элементы строки 2 на 3.

базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	свободные члены	отношение
Х5	1	4	0	2	1	0	0	90	45
Х6	2/3	-3	-3	1	0	1/3	0	20/3	20/3
Х7	0	1	2	-1	0	0	1	50	-
L	-3	-2	3	-4	0	0	0	0	-

От элементов строки 1 отнимем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 2.

От элементов строки 3 отнимем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -1.

От элементов строки L отнимем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -4.

базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	свободные члены
Х5	-1/3	6	2	0	1	-2/3	0	230/3
Х4	2/3	-1	-1	1	0	1/3	0	20/3
Х7	2/3	0	1	0	0	1/3	1	170/3
L	-1/3	-6	-1	0	0	4/3	0	80/3

X 1 = (0 , 0 , 0 , 20/3 , 230/3 , 0 , 170/3)

L = 80/3 + 1/3 x1 + 6 x2 + x3 -4/3 x6 L (X 1) = 80/3

2. За ведущий выберу столбец 2 , так как -6 наименьший элемент в L строке и строку 1.

базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	свободные члены	отношение
Х5	-1/3	6	2	0	1	-2/3	0	230/3	115/9
Х6	2/3	-1	-1	1	0	1/3	0	20/3	-
Х7	2/3	0	1	0	0	1/3	1	170/3	-
L	-1/3	-6	-1	0	0	4/3	0	80/3	-

Разделим элементы строки 1 на 6.

базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	свободные члены	отношение
Х5	-1/18	1	1/3	0	1/6	1/9	0	115/9	115/9
Х6	2/3	-1	-1	1	0	1/3	0	20/3	-
Х7	2/3	0	1	0	0	1/3	1	170/3	-
L	-1/3	-6	-1	0	0	4/3	0	80/3	-

От элементов строки 2 отнимает соответствующие элементы строки 1, умноженные на -1.

От элементов строки L отнимает соответствующие элементы строки 1, умноженные на -6.

базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	свободные члены
Х2	-1/18	1	1/3	0	1/6	-1/9	0	115/9
Х4	11/18	0	-2/3	1	1/6	2/9	0	175/9
Х7	2/3	0	1	0	0	1/3	1	170/3
L	-2/3	0	1	0	1	2/3	0	310/3

X 2 = (0 , 115/9 , 0 , 175/9 , 0 , 0 , 170/3)

L = 310/3 + 2/3 x1 - x3 - x5 -2/3 x6 L (X 2) = 310/3

3. За ведущий выберу столбец 1 , за ведущую выберу строку 2.

базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	свободные члены	отношение
Х2	-1/18	1	1/3	0	1/6	-1/9	0	115/9	-
Х4	11/18	0	-2/3	1	1/6	2/9	0	175/9	350/11
Х7	2/3	0	1	0	0	1/3	1	170/3	85
L	-2/3	0	1	0	1	2/3	0	310/3	-

Разделим элементы строки 2 на 11/18.

базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	свободные члены	отношение
Х2	-1/18	1	1/3	0	1/6	-1/9	0	115/9	-
Х4	1	0	-12/11	18/11	3/11	4/11	0	350/11	350/11
Х7	2/3	0	1	0	0	1/3	1	170/3	85
L	-2/3	0	1	0	1	2/3	0	310/3	-

От элементов строки 1 отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на -1/18.

От элементов строки 3 отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на 2/3.

От элементов строки L отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на -2/3.

базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	свободные члены
Х2	0	1	3/11	1/11	2/11	-1/11	0	160/11
Х1	1	0	-12/11	18/11	3/11	4/11	0	350/11
Х7	0	0	19/11	-12/11	-2/11	1/11	1	390/11
L	0	0	3/11	12/11	13/11	10/11	0	1370/11

X 3 = (350/11 , 160/11 , 0 , 0 , 0 , 0 , 390/11)

L = 1370/11 -3/11 x3 -12/11 x4 -13/11 x5 -10/11 x6

L (X 3) = 1370/11

Учитывая, что все Х(j)>=0, по условию задачи, наибольшее значение функции L равно свободному члену 1370/11 - это оптимальное решение.

X опт = (350/11 , 160/11 , 0 , 0 , 0 , 0 , 390/11)

Значение функции: L = 1370/11

Задание 8. Определить параметры модели управления запасами основного сырья. Предприятие должно произвести за месяц 250 т продукции вида А и 180 т продукции вида Б. Для производства всего вида ассортимента продукции используется основное сырьё в соответствии со следующими технологическими нормами расхода: 600кг/т для продукции А и 1000 кг/т для продукции Б. Стоимость хранения 1т сырья обходится предприятию в 100 руб., издержки по организации каждой поставки сырья на производство составляют 300 руб.

1. Наиболее известной прикладной моделью управления запасами, является:

Модель EOQ (economic order quantity, т.е. «расчет оптимальной величины одной закупки возобновления запасов» ) – для запасов материальных ресурсов.

EOQ = V2QO/C

Где EOQ – оптимальный размер закупки запаса в физических единицах;

Q – оценка потребления запаса за период в физических единицах;

O – операционные издержки по заказу;

С – складские издержки по запасу в течении периода.

Это «упрощённая» модель EOQ, в которой заказ поступает на склад точно в момент «обнуления» имеющегося запаса. Следовательно, в рамках «упрощённой» модели целевой уровень запаса равен ½ оптимального размера закупки.

Стоимость закупки не входит в формулу, т.к. здесь содержится вопрос не «у кого покупать», а «сколько покупать».

1. Количество сырья, необходимое для производства продукции вида А:

0,6 * 250 = 150 т

2. Количество сырья, необходимое для производства продукции вида Б:

1 * 180 = 180 т

3. Всего сырья: 150 + 180 = 330 т

4. Оптимальный размер заказа EOQ = V 2QO/C = V 2 * 330 * 300/100 = V 1980 = 44,5 т

5. Следовательно, средний целевой уровень остатка сырья и материалов равен:

44,5 / 2 = 22,25 т

6. Расчет совокупных издержек.

- средняя величина запаса = 44,5/2 =22,25 т

- число заказов = 330/44,5 = 8 (7,4)

- операционные издержки = 300 * 8 = 2400 руб (300 * 7,4 = 2225 руб)

- стоимость содержания запаса = 22,25 * 100 = 2225 руб

- совокупные издержки = 2400 + 2225 = 4625 руб (2225 + 2225 = 4450 руб)

2. Модель Уилсона также является простейшей моделью УЗ и описывает ситуацию закупки продукции у внешнего поставщика.

Q_W = √2Kv/s

Где Q_W – оптимальный размер заказа в модели Уилсона;

L = K * (v/Q) / s *(Q/2)

Ʈ= Q / v

V – интенсивность (скорость) потребления запасами, ед.изм.;

S – затраты на хранение, руб/ед.изм.;

К – затраты на осуществление заказа, руб;

Q – размер заказа, ед.изм.;

L – общие затраты на управление запасами,руб.;

Ʈ – период поставки, т.е. время между подачами заказа или между поставками.

1. Оптимальный размер заказа в модели Уилсона:

Q _w = V 2 * 300 * 330/100 = 44, 5 т

2. Подача каждого нового заказа должна производиться через:

Ʈ = 44,5/330 = 0,13 месяца

0,13 * 30 = 4 дня

3. Совокупные затраты:

L = 300 * 330 / 44,5 + 100 * 44,5 / 2 = 4450 руб

15